正整数并集悖论

门外汉

设全体正整数的集合为Z，Z＝{1，2，3，4……n……}，从Z的所有子集中挑选出来一些特定的子集，要求同时符合下面的两个条件：（1）：所有的子集中必须包含1；（2）：如果该子集中包含多个元素，则所有的元素能以自然数的顺序依次排列。例如：{1}，{1，2，3}和{1，2，3，4，5，6，7}都符合上述的两个条件，但{2，3，4，5}不符合条件，因为该集合中没有1；{1，2，5，7，8}也不符合条件，因为所有的元素没有按自然数的顺序依次排列。
根据上述的两个条件，可以挑选出所有的符合条件的子集，按照从小到大的顺序进行排列，分别是：
a1＝{1}
a2＝{1，2}
a3＝{1，2，3}
a4＝{1，2，3，4}
a5＝{1，2，3，4，5}
……
an＝{1，2，3，4，5……n}
……
我们称上面特征的集合为Z的以1为首的等差数列子集。
令A为包含所有Z的以1为首的有限等差数列子集的集合，即A＝{a1，a2，a3，a4……an……}，A的元素全都是Z的有限等差数列子集，因为Z也是Z的一个以1为首的等差数列子集，但因为Z是一个无穷集，而A的所有元素都是有限集，所以Z不是A的元素。
又因为A的所有元素全都是Z的有限等差数列子集，所以A的所有元素全都是Z的真子集。
现在考查A中的元素做并集的结果，例如：a1∪a2＝{1}∪{1，2}＝{1，2}；
a1∪a2∪a3＝{1}∪{1,2}∪{1,2,3}＝{1,2,3};
a1∪a2∪a3∪a4＝{1}∪{1,2}∪{1,2,3}∪{1,2,3,4}＝{1,2,3,4}
……
现在令W为A中所有元素做并集的结果，即W＝{a1∪a2∪a3∪a4∪……∪an∪a(n+1) ∪a(n+2)……}，则W＝{1，2，3，4……n……}
下面证明W中包含所有的正整数：
因为在A的所有元素中，任给A的一个元素ak,一定能找到A的一个元素aj，使得aj大于ak，说明A的所有元素是无穷多的，即A的所有元素能够与所有的正整数形成一一对应关系，即：a1对应1，a2对应2，a3对应3……an对应n……
根据皮亚诺公理，所有的正整数都是有限的正整数，不存在无穷大的正整数，所以A的每一个有限元素对应一个有限的正整数，所有的正整数在A中都有对应的元素。
又因为A中的所有元素可以与所有的正整数形成一一对应关系，所以A的所有并集的结果包含有所有的正整数，即W＝Z。
下面由W＝Z推导出逻辑矛盾：
从前面可知，A中的所有元素都是Z的真子集，也就是说：只有无限集Z才包含所有的正整数，而A中的任何一个元素都是有限集，所以A中的任何一个元素a都不包含所有的正整数。
由真子集的定义可知，一定存在一个正整数g，g是Z的一个元素，但A的所有元素中，都不包含g,否则，假设A中的某一个元素ai中也包含g，或者说泛是Z中有的元素，ai中都有，则说明ai包含Z的所有元素，即ai不是Z的真子集，这与先前所做出的定义相矛盾。
既然A的所有元素中都不包含g,那么，A的所有元素做并集的结果，一定也没有g。即W中不包含g。
但因为W＝Z，而Z是所有正整数的集合，所以W中一定包含g。由此构成逻辑矛盾。

elimqiu

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-10 16:24

讨论一个核心问题吧，正整数集Z中的所有正整数，A中的某个元素全都有，对吗？

elimqiu

门外汉 发表于 2017-3-10 23:15
讨论一个核心问题吧，正整数集Z中的所有正整数，A中的某个元素全都有，对吗？

任给定一个正整数，一定有某个 A(n)含这个正整数，但这个 A(n) 并不含每个正整数。

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-10 23:32
任给定一个正整数，一定有某个 A(n)含这个正整数，但这个 A(n) 并不含每个正整数。

我再问一个关键的问题:A的所有元素都不包含所有的正整数，请问A的所有元素的并集包含所有的正整数吗？

elimqiu

门外汉 发表于 2017-3-10 23:40
我再问一个关键的问题:A的所有元素都不包含所有的正整数，请问A的所有元素的并集包含所有的正整数吗？

这个并包含所有正整数。

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-10 23:44
这个并包含所有正整数。

为什么？
A的所有元素都不包含所有的正整数，可以证明A的所有元素的并集包含所有的正整数？我的逻辑有点乱……

elimqiu

根据并集的定义及 A(n) 的定义。 简单说来，既然对每个 n， n 在 A(n) 里面, 所以这个 n 也在并里面。因为 n 是任意的，所以这个并就含任意正整数。

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-11 00:09
根据并集的定义及 A(n) 的定义。 简单说来，既然对每个 n， n 在 A(n) 里面, 所以这个 n 也在并里面。因为  ...

来看一下A中的元素做并集是一种什么样的情况：
{1}∪{1，2}＝{1，2}
{1}∪{1，2}∪{1，2，3}＝{1，2，3}
{1}∪{1，2}∪{1，2，3}∪{1，2，3，4}＝{1，2，3，4}
……
令W为A中元素做并集的结果，则有：
如果W＝{1，2，3}，则{1，2，3}一定是A中的一个元素。
如果W＝{1，2，3，4，5，6，7}，则{1，2，3，4，5，6，7}一定是A中的一个元素。
如果W＝{1，2，3……500}，则{1，2，3……500}一定是A中的一个元素
……
因此有定理：如果W＝{1，2，3……n},则{1，2，3……n}一定是W中的一个元素。
因为有W＝Z，所以根据定理：Z一定是A中的一个元素。
但因为在A的定义中，Z不是A的元素，如今又推导出Z是A的一个元素，矛盾。

elimqiu

因为W不是你例举的任何一个'如果'，所以你推不出W在A中．其实A的元素就是那些a(n). 这是你事先设定的，里面明明就没有W.