引人迷思的无限取球悖论的数学函数图像

门外汉

    假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球，所有的球全都用正整数一一编号，最开始，瓶子是空的，将球按照1，2，3，4……的顺序顺依次的放入到瓶子中，操作无穷次后，所有的球全都放进了瓶子中，瓶子中的球数为无穷多，即瓶中球的基数为阿列夫0，此为放球的无穷次操作过程。
    下面进行取球的无穷次操作过程，即将瓶子中的无穷多个球一个一个的全部取出来，当取出1号球时，瓶中剩余的球的基数为阿列夫0，当取出2号球时，瓶中剩余的球的基数仍为阿列夫0，当取出3号球时，瓶中剩余的球数还是阿列夫0……所以，无论从瓶中取出多少个球，瓶中的球数总为阿列夫0.
    那么，将所有的球全都从瓶子中取出来，瓶子中的球数还是阿列夫0吗？
    瓶中的球全都取出来了，瓶中的球当然不是阿列夫0，它是0.
文字描述总是苍白无力的，上图



    从图中可以看出来：在放球的全过程中，经历了0——1，2，3……（有限）——无穷（阿列夫0）的过程，函数的图像看起来是一个“连续”，“光滑”的图像。
    取球的全过程可以看做是放球全过程的逆运算，既然是逆运算，那么按我们正常的思维来说，它应该与放球的全过程是“反对称”的，即应该经过无穷（阿列夫0）——（有限）……3，2，1——0这么一个函数图像，但实际的图像却只有无穷（阿列夫0）——0这么两个过程，也就是说，这个取球全过程的图像它不是一个“连续”，”光滑“的图像，而是出现了一个十分巨大的”间断“点：即从无穷到0是间断的，取球的定义域为n={1，2，3……},无论n取何值，它的值域总为阿列夫0（无穷大），只有将所有球全部取空，它的值域才突然之间”收缩“到0.
    那么，在数学上应该怎样描述这样古怪的函数图像呢？难道它没有任何矛盾吗？
    （图为手工制做，粗糙之处请见谅）

elimqiu

矛盾么，没有．图像么错误(无穷远你点不出来)，古怪吗，是的! 这与人们经验到的的有限情形，或者有最后操作的情形太不相同了．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-15 12:19
矛盾么，没有．图像么错误(无穷远你点不出来)，古怪吗，是的! 这与人们经验到的的有限情形，或者有最后操作 ...

这没有矛盾，则天下没有矛盾。

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-15 12:19
矛盾么，没有．图像么错误(无穷远你点不出来)，古怪吗，是的! 这与人们经验到的的有限情形，或者有最后操作 ...

比如说：罗素悖论，A属于A则A不属于A，A不属于A则A属于A，有矛盾吗？没有啊，很正常啊，有什么矛盾呢?

elimqiu

你不如干脆说，比如你懂数学而现代数学家都视罗素悖论为无物，这样直接了当些．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-15 12:36
你不如干脆说，比如你懂数学而现代数学家都视罗素悖论为无物，这样直接了当些．

我哪敢这么说啊？只不过我认为如果我本帖中没有矛盾的话，那么天下数学中没有任何矛盾，一切皆是合理的。

elimqiu

要真是像你说的那样，你就直接指出矛盾得了．可是你能给出的只是你的期待与计算结果的无穷差别，却拿不出逻辑矛盾来．如果你能论证现代集合论仍然导致罗素悖论也行．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-15 13:22
要真是像你说的那样，你就直接指出矛盾得了．可是你能给出的只是你的期待与计算结果的无穷差别，却拿不出逻 ...

ZFC已经把罗素悖论这个大妖怪驱逐出门外了，门里大院内当然是没有妖怪做乱了，但罗素悖论这个大妖怪还是在门外面好端端的活着呢，只不过是院门紧闭，门里面的人看不见而已。

elimqiu

这么说很有诗意．也许也是对的．就好像推翻了人剥削人的制度后很可能还是人剝削人．不过还没有根据确定这是对的．

近代数学基础研究的成就之一，就是证明了就算数学是自洽的，数学本身还是证不了其自洽．

不过没有人能阻止实无穷数学．就好像无穷小方法导致危机不会让微积分出局，只会刺激数学分析的严密化一样．

elimqiu

更何况现在的数学基础刚经过了第三次数学危机洗礼。用传统的方法要找它毛病谈何容易。