无割边的3—正则平面图一定可以划分为一个或若干个偶圈

雷明85639720

无割边的3—正则平面图一定可以划分为一个或若干个偶圈
雷  明
（二○一七年三月十八日）

1、从构造图中找规律
由于3—正则的平面图的顶点数都是偶数，所以我们现在就先从构造3—正则平面图谈起。
1、1  顶点数v＝2的3—正则平面图

美洲的海地岛和澳洲的新几内亚岛的地图都是顶点（三界点）数是2的3—正则图，如图1。图中只可能有一个偶圈——2—圈（加粗的边），且是哈密顿圈。这是唯一的只有两个“三界点”和三条平行边的地图，并且所有的三个面也都只有两条边界线，其中任两条平行边都可构成一个2—圈，任一个国家的边界线也就是一个2—圈。
1、2  顶点数v＝4的3—正则平面图
一个海岛上有三个图家的地图和一个正四面体所对应的图都是顶点数是4的3—正则图，如图2。图中也只可能有一个偶圈——4—圈，且也是哈密顿圈。这也是唯一的只有三个“三界点”和所有面都是三边形的地图和多面体，其中任四条边都可构成一个4—圈。
1、3  顶点数v＝6的3—正则平面图

3—楞柱对应的图就是一个顶点数是6的3—正则平面图，如图3。图中同样也只可能有一个偶圈——6—圈，且同样也是哈密顿圈。这种多面体中三边形面和四边形面都有。
1、4  顶点数v＝8的3—正则平面图

4—楞柱（正6—面体）对应的图就是一个顶点数是8的3—正则平面图，如图4。这时图中开始有了两个同样都是4—圈的偶圈。这是唯一的一个所有面都是四边形的地图和多面体。
1、5  顶点数v＝10的3—正则平面图
5—楞柱对应的图就是一个顶点数是10的3—正则平面图，如图5。这时图中也有两个偶圈，一个4—圈，一个6—圈。是一种四边形面和五边形面皆有的地图和多面体。
顶点数再增加的楞柱体所对应的图都是可以划分为两个以上的偶圈的。也是四边形面与大于四的多边形面共同存在的地图和多面体。
1、6  顶点数v＝20的3—正则平面图
10—楞柱对应的图就是一个顶点数是20的3—正则平面图，也一定是可以划分成若干个偶圈的。同时顶点数是20的3——正则图还有一种，即正十二面体所对应的图，如图6。这是一个典型的可哈密顿的“20点形”，也是一个唯一的所有面都是五边形的地图和多面体。

1、7  任意顶点数的3—正则平面图的构图
对以上各图，如果把多面体的某一个顶点用刀捎去，便会产生一个新的3—边形的面出来，使图中的面增加了一个。捎去多面体的一个顶点，多产生了一个面，也多产生了3—1＝2个顶点（“三界点”），图中的顶点数仍是偶数，符合3—正则图的顶点数一定是偶数的条件；捎去多面体的一个顶点，不但多产生了一个面，也多产生了3条边，正好增加的边数也是增加的顶点数的1.5倍，也符合3—正则平面图的边数与面数的比例关系。
    2、分析或证明
从以上的构图中可以看出，无割边的3—正则平面图（或地图）中不可缺少的面的边数是2，3，4和5，也就是说任何无割边的3—正则平面图（或地图）中一定都存在这四种面的一种或若干种。这也就是坎泊所给出的地图的不可免集。海岛的地图只存在2—边形面和3—边形面，正6—面体和正12—面体只存在4—边形面和5—边形面，而他们都是可以划分成一个或若干个偶圈的（见上面各图）。除此以外，其他的地图中至少都存在着3—边形面，4—边形面，5—边形面中的三种或两种。如果图中存在4—边形面，首先就可以划分出一个4—边形的偶圈来，然后再从这个4—边形的偶圈外面划分出其他的偶圈来即可。这是一定可以办到的。
现在就只剩下3—边形面和5—边形面共存的一种情况了。这一情况中，两个3—圈拼接起来就得到一个偶圈，两个5—圈拼接起来也就得到一个偶圈，一个3—圈与一个5—圈拼接起来就得到一个偶圈。如果这些圈不直接相接，不能拼接，那么还可以通过其他的偶圈或奇圈进行“传替”，以达到其简接拼接的目的，从而可划分出一个偶圈。然后再在其外划分出别的偶圈即可。
这就证明了任何无割边的3—正则平面图一定是可以划分为一个或若干个偶圈的。



雷  明
二○一七年三月十九日于长安

注：此文已于二○一七年三月十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

你真没有意思。