由集合论推导出自然数集合N中存在无穷大自然数

门外汉

由皮亚诺公理可知，所有的自然数全都是有限的自然数，不存在无穷大自然数（证明略）。
然尔根据集合论中的相关理论，却可以证明自然数集合N中存在无穷大自然数，下面写出证明过程：
全体自然数的集合为N，N＝{0，1，2，3，4……n……}，从N的所有子集中挑选出来一些特定的子集，要求同时符合下面的两个条件：（1）：所有的子集中必须有0为元素；（2）：如果该子集中包含多个元素，则所有的元素能以自然数的顺序依次排列。例如：{0}，{0，1}，{0，1，2，3}都符合上述的两个条件，但{1，2，3，4}不符合条件，因为该集合中没有0；{0，1，2，5，7，8}也不符合条件，因为所有的元素没有按自然数的顺序依次排列。
根据上述的两个条件，可以挑选出N的所有符合条件的子集，按照从小到大的顺序进行排列，分别是：
a0＝{0}
a1＝{0，1}
a2＝{0，1，2}
a3＝{0，1，2，3}
a4＝{0，1，2，3，4}
a5＝{0，1，2，3，4，5}
……
an＝{0，1，2，3，4，5……n}
……
aN＝{0，1，2，3，4，5……n……}
因为N是N的子集，记为aN，aN也符合上述子集的定义。
我们称符合上面特征的集合为N的以0为首公差为1的等差数列子集。
令A为包含所有N的以0为首公差为1的有限等差数列子集的集合，即A＝{a0，a1，a2，a3，a4……an……}，A的元素全都是N的有限等差数列真子集，因为aN是一个无穷集，它是N的子集而不是N的真子集，所以aN不是A中的元素。
对于A中的所有元素，有a0⊂a1⊂a2⊂a3⊂……⊂an⊂……，即前一个元素是后一个元素的真子集，并且A中的所有元素全都是N的真子集。
因为A中的所有元素全都是N的真子集，也就是说：只有无限集N才包含所有的自然数，而A中的任何一个元素都是有限集，所以A中的任何一个元素都不包含所有的自然数。
由真子集的定义可知，一定存在一个自然数g，g属于N，但g不属于A中的任何一个元素。
下面证明g的存在性：
（1）：因为A中的所有元素全都是N的真子集，所以N与A中任何一个元素的差都不是空集，即N－ak≠∅。否则，如果有N－ak＝∅，则有ak=N，说明ak不是N的真子集。
(2):如果有A⊂B，则g= A∪B－A，例如：A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4}，则g＝A∪B－A＝{1，2，3}∪{1，2，3，4}－{1，2，3}＝4，即4属于B而不属于A
并且，如果A⊂B，则g=A∪B－A必然不是空集，否则，如果g是空集，则必有A＝B，说明A不是B的真子集。
（3）：因为A中的所有元素全都是N的真子集，所以g=（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）-a0－a1-a2-a3……－an……，设（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）＝Y，则有Y＝N，由（1）可知，N与A中任何一个元素的差都不是空集，所以g不是空集。否则，如果Y与A中的某一个元素ak的差是空集（即g是ak中的元素），则根据（2），必有ak=N，说明ak不是N的真子集，这与A中的所有元素全都是N的真子集相矛盾。
由以上所述可知，因为g不是一个空集,所以g存在，g属于N而不属于A中的任何一个元素，也就是说，A中的任何一个元素中，都没有g.
因为A中的所有元素全都是有限集合，而g不属于任何一个有限集，只属于无限集N，所以g是一个无穷大自然数。
命题得证：在自然数集合N中存在无穷大自然数g,g大于任何一个有限的自然数。

elimqiu

门外汉主贴的第一个错误是：

一定存在一个自然数g，g属于N，但g不属于A中的任何一个元素。

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-23 13:10
门外汉主贴的第一个错误是：

第二个错误是什么？

elimqiu

第二个错误无所谓了，随便看看，下面也算一个 "g 只属于无限集N，所以g是一个无穷大自然数。"

N 是无穷集(不能与有限集建立一一对应), 但它不含无穷大元素。它的每个元素都是自然数因而都是有限的。无穷大自然数在 ZFC 中没有定义。

jzkyllcjl

无穷集合是无法构造完毕的想象性极限性、趋向性的非正常集合。在现实世界中，找不到它的对应物。

elimqiu

jzkyllcjl 除了吃狗屎是正常的，别的都不正常．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-24 00:31
第二个错误无所谓了，随便看看，下面也算一个 "g 只属于无限集N，所以g是一个无穷大自然数。"

N 是无穷 ...

咱们来一步一步的证明g的存在性：
首先：A＝{a0,a1,a2,a3……an……}，A中的所有元素全都是N的真子集，所以有如下的推论：N与A中的任何一个元素的差都不是空集，即：N－a1非空，N－a2非空，N-a3非空……
请问上面的推论对不对？

elimqiu

门外汉 发表于 2017-3-24 04:49
咱们来一步一步的证明g的存在性：
首先：A＝{a0,a1,a2,a3……an……}，A中的所有元素全都是N的真子集， ...

举个简单的反例：E={1,2,3}, a1={2,3}, a2={1,3}, a3={1,2}.  
ak 是E的真子集(k= 1,2,3). 但E中不存在 g使得g 不属于毎个ak.

虽然你的A, N 是无穷集，A的任意二元必有其一为另一的真子集,  但这些都无济于事：任一自然数g必是 ak 的元. 只要 k 大于或等于g. 所以不可能存在 不属于 A的每个元的自然数．说白了是这样: 不管你找出什么 g, 它必在 ag 中，而 ag 在A中，所以 g 不在一切 ak 之外．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-24 05:39
举个简单的反例：E={1,2,3}, a1={2,3}, a2={1,3}, a3={1,2}.  
ak 是E的真子集(k= 1,2,3). 但E中不存在  ...

你举的反例是错误的，在我的定义中，如果E＝{1，2，3}，则符合定义的子集只有两个，即a1＝{1}，a2={1，2}，也即是a1⊂a2⊂E，{2，3}和{1，3}都不符合定义。在这个定义下，存在g=3,3属于E而不属于a1和a2.
回到我的问题中来，A＝{a0，a1，a2，a3，a4……an……}，A中的所有元素全都是N的真子集，即有a0⊂a1⊂a2⊂a3⊂……⊂an⊂……⊂N，请问，N与A中任何一个元素的差都不是空集，对不对？

elimqiu

说白了是这样: 不管你找出什么 g, 它必在 ag 中，而 ag 在A中，所以 g 不在一切 ak 之外．