S=1+1/√2+1/√3+…+1/√2019 ，求 S 的整数部分 [S]

luyuanhong

这是台湾网友 kezhulu 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

S=1+1/√2+1/√3+....+1/√2019,求[S]

我用放縮法求出它在87.88<S<89.86之間...

有沒有其他法可以進一步縮小它的範圍...是不是最後一項要平方數才能求到...

luyuanhong

王守恩

   S(n)=1+1/√2+1/√3+……+1/√n
  
    n 取足够大时，2√n - S(n)=是个常数

   常数=1.4603545088095868128894991525152980124

luyuanhong

设 S(n)=∑(k=1,n)1/√k ，2√n-S(n) 的值计算如下：

n=1 时，2√1-S(1)=1

n=2 时，2√2-S(2)=1.121320343

n=3 时，2√3-S(3)=1.179644564

n=4 时，2√4-S(4)=1.215542949

n=5 时，2√5-S(5)=1.240465309

n=6 时，2√6-S(6)=1.259060549

n=7 时，2√7-S(7)=1.273619212

n=8 时，2√8-S(8)=1.285417449

n=9 时，2√9-S(9)=1.295229866

……

n=1000 时，2√1000-S(1000)=1.444544438

……

n=10000 时，2√10000-S(10000)=1.455354550

……

n=100000 时，2√100000-S(100000)=1.458773371

……

王守恩

  S(n)=1+1/√2+1/√3+……+1/√n
我们在 S(n) 里选一个比较接近 k 的数，k 是正整数，
记为 a(k)，a(k)=S(A)，则 K 与 A 有如下对应关系， 譬如：
a(k)=S(A)  
a(1)=S(2)
a(2)=S(4)
a(3)=S(7)
a(4)=S(10)
a(5)=S(13)
a(6)=S(17)
a(7)=S(22)
a(8)=S(27)
a(9)=S(32)
a(10)=S(38)
a(11)=S(45)
a(12)=S(52)
a(13)=S(59)
a(14)=S(67)
a(15)=S(76)
a(16)=S(85)
a(17)=S(94)
..........

xfhaoym

也可以这样近似计算

elim

所论常数是 -ζ(1/2) = 1.46035450880958681288949915251529801246722933101258149054...

markfang2050

:lol程序直接跑就完了。
#python3.6
import math

j=0
for i in range(1,2020):#S=1+1/√2+1/√3+…+1/√2019 ，求 S 的整数部分 [S]
    j=j+1/math.sqrt(i)#sqrt()是不能直接访问,导入 math 模块，通过静态对象调用该方法。
print(j)
print(int(j))
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88.4173403952337
88