证明：(tan10°)^2+(tan50°)^2+(tan70°)^2=9

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

谢芝灵

关健点：sin50=sin（60-10）；cos50=cos（60-10）
            sin70=sin（60+10）；cos70=cos（60+10）

4sin10^3-3sin10+1/2=0
4cos10^3-3cos10-根3/0=0

代入，题就能解！
            

谢芝灵

4sin10^3-3sin10+1/2=0  的三个根为 sin10；sin50；-sin70
4cos10^3-3cos10-根3/0=0 的三个根为 cos10；cos50；-cos70

dodonaomiki

我想到了一个推论，不晓得是否成立？？？？

谢芝灵

cos10^3-3/4cos10-根3/8=0 的三个根为 a，b，c
a^3-（3/4）a-（根3）/8=0         （1）
b^3-（3/4）b-（根3）/8=0          （2）
c^3-（3/4）c-（根3）/8=0           （3）
（1）-（2）解得：a^2+ab+b^2=3/4     (4)
(1)-(3)       :a^2+ac+c^2=3/4           (5)
(4)-(5)  :a(b-c)+(b-c)(b+c)=0
得 a+b+c=0      （6）
（2）-（3）：b^2+bc+c^2=3/4     (7)
由（4）+（5）+（7）得：2（a^2+b^2+c^2)+ab+ac+cb=9/4
得：2(a+b+c)^2-3(ab+ac+cb)=9/4
  ab+ac+cb=-3/4       (8)
由（1）得：a(a^2-3/4）-（根3）/8=0  
(4)代入上式：a(3/4-b^2-ba-3/4)--（根3）/8=0  
得：-ab（a+b)--（根3）/8=0  
(6)代入上式:abc=（根3）/8       (9)


由于 a、b、c对称。取cos10=a，代于（4）解得 b=cos50（或b=cos70）
再代入（5）式。得到 a、b、c三个根为 cos10、cos50、c0s70



(sin10^2)/(cos10^2)+(sin50^2)/(cos50^2)+(sin70^2)/(cos70^2)
=[(sin10^2)(cos50^2)(cos70^2)+(sin50^2)(cos10^2)(cos70^2)+(sin70^2)(cos10^2)(cos50^2)]/(cos10^2)(cos50^2)(cos70^2)
=[(cos50^2)(cos70^2)+(cos10^2)(cos70^2)+(cos10^2)(cos50^2)-3(cos10^2)(cos50^2)(cos70^2)]/(cos10^2)(cos50^2)(cos70^2)
=[(cos50^2)(cos70^2)+(cos10^2)(cos70^2)+(cos10^2)(cos50^2)-9/4]/(3/64)
=[(cos50cos70+cos10cos70+cos10cos50)^2-2cos50cos70cos10cos70-2cos10cos70cos10cos50-cos50cos70cos10cos50-9/4]/(3/64)
=[(3/4)^2-2cos50cos70cos10（cos50+cos70+cos10）-9/64]/（3/64）
=（9/16-0-9/64）/（3/64）
=（36/64-9/64）/（3/64）
=9




     

谢芝灵

dodonaomiki 发表于 2017-3-27 07:50
我想到了一个推论，不晓得是否成立？？？？

注意取p值的域就行。=== 因为分母不能为零。

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

dodonaomiki

谢芝灵 发表于 2017-3-27 11:52
注意取p值的域就行。=== 因为分母不能为零。

我现在一想，至少不具有广泛性、全部性！

把P=0°或者60°，都明显的不成立！


所以，即便能够推广，可能也是非常有限的推广