以边长为 1 的正方格组成长为 144、宽为 89 的长方形 ABCD，连线 AC 会通过几个格子？

luyuanhong

这是网友 st055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

以邊長為1單位的正方格組成長方形ABCD，長為144單位，寬為89單位，

請問連接AC線段會通過幾個格子?

luyuanhong

题  以边长为 1 的正方格组成长为 144、宽为 89 的长方形 ABCD，连线 AC 会通过几个格子？

解  不妨设 A 点坐标为 A(0,0) ，C 点坐标为 C(144,89) 。

    因为 144 与 89 互质，所以连线 AC 除了两端外，不会通过格子点（x,y坐标为整数的点）。

    称与 x 轴平行的、m 为整数的直线 y=m 为“横格线”，AC 中间与横格线有 88 个交点。

    称与 y 轴平行的、n 为整数的直线 x=n 为“竖格线”，AC 中间与竖格线有 143 个交点。

    总之，连线 AC 中间（不包括两端）与横格线、竖格线共有 88+143=231 个交点。

    连线 AC 从 A 出发，先通过第 1 个格子。以后 AC 只要遇到一个与横竖格子线的交点，就

进入一个新的格子，由于 AC 中间与横竖格子线有 231 个交点，所以共进入过 231 个新的格子。

加上最初的第 1 个格子。连线 AC 共通过 1+231=232 个格子。