请教陆教授一个概率论的题目

门外汉

陆教授是主教概率论的，所以这个题目请陆教授解答一下最为合适。
题目1：已知甲有两个孩子，问甲有两个儿子的概率是多少？
题目2：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，问甲有两个儿子的概率是多少？
题目似乎很简单，但好象有歧义。

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/21 02:42pm 发表的内容：
陆教授是主教概率论的，所以这个题目请陆教授解答一下最为合适。
题目1：已知甲有两个孩子，问甲有两个儿子的概率是多少？
题目2：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，问甲有两个儿子的概率是多少 ...

题目1：已知甲有两个孩子，问甲有两个儿子的概率是多少？

解  甲有两个孩子，共有下列 4 种等可能的情况：
（1）第一个是儿子，第二个是儿子。
（2）第一个是儿子，第二个是女儿。
（3）第一个是女儿，第二个是儿子。
（4）第一个是女儿，第二个是女儿。

   甲有两个儿子，是其中（1）的情况，占全部 4 种情况的 1/4 。
   所以，在已知甲有两个孩子的条件下，甲有两个儿子的概率是 1/4 。

题目2：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，问甲有
       两个儿子的概率是多少？

解  甲有两个孩子，并且已知其中一个是儿子，共有下列 3 种等可能的情况：
（1）第一个是儿子，第二个是儿子。
（2）第一个是儿子，第二个是女儿。
（3）第一个是女儿，第二个是儿子。

   甲有两个儿子，是其中（1）的情况，占全部 3 种情况的 1/3 。
   所以，在已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子的条件下，
甲有两个儿子的概率是 1/3 。

门外汉

谢谢陆教授的解答，接下来的题目是：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，那么另一个孩子也是儿子的概率是多少？

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/21 03:33pm 发表的内容：
谢谢陆教授的解答，接下来的题目是：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，那么另一个孩子也是儿子的概率是多少？

题目3：已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子，问甲的
       另一个孩子也是儿子的概率是多少？

解  甲有两个孩子，并且已知其中一个是儿子，共有下列 3 种等可能的情况：
（1）第一个是儿子，第二个是儿子。
（2）第一个是儿子，第二个是女儿。
（3）第一个是女儿，第二个是儿子。

   因为已知甲有一个儿子，如果另一个孩子也是儿子，则甲共有两个儿子，
是其中（1）的情况，占全部 3 种情况的 1/3 。
   所以，在已知甲有两个孩子，并且已知其中的一个孩子是儿子的条件下，
甲的另一个孩子也是儿子的概率是 1/3 。

luyuanhong

题目4：已知甲有两个孩子，并且已知甲的第一个孩子是儿子，问甲的
       另一个孩子也是儿子的概率是多少？

解  甲有两个孩子，并且已知第一个是儿子，共有下列 2 种等可能的情况：
（1）第一个是儿子，第二个是儿子。
（2）第一个是儿子，第二个是女儿。
   因为已知第一个是儿子，如果另一个孩子也是儿子，则甲共有两个儿子，
是其中（1）的情况，占全部 2 种情况的 1/2 。
   所以，在已知甲有两个孩子，并且已知甲的第一个孩子是儿子的条件下，
甲的另一个孩子也是儿子的概率是 1/2 。

门外汉

分歧出在了题目3上了，陆教授所给出的1/3是一个答案。
但是另一种解法是：已知甲的两个孩子中其中一个是儿子，那么另一个孩子也是儿子的概率是1/2，因为两个孩子的性别是独立事件。
请问陆教授，这种解法有没有错误呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
思路是这样的：甲的第一个孩子出生之前，是儿子的概率是1/2.此时不管甲的第一个孩子是儿还是女，那么甲的第二个孩子出生之前，是儿子的概率仍为1/2.
也就是说：两个孩子出生之前的性别各为独立事件。

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/21 05:36pm 发表的内容：
分歧出在了题目3上了，陆教授所给出的1/3是一个答案。
但是另一种解法是：已知甲的两个孩子中其中一个是儿子，那么另一个孩子也是儿子的概率是1/2，因为两个孩子的性别是独立事件。
请问陆教授，这种解法有没有错误呢？
-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
思路是这样的：甲的第一个孩子出生之前，是儿子的概率是1/2.此时不管甲的第一个孩子是儿还是女，那么甲的第二个孩子出生之前，是儿子的概率仍为1/2.
也就是说：两个孩子出生之前的性别各为独立事件。

你仔细看一下上面的题目 3 和题目 4 ，看一下它们的区别在哪里？
想一想为什么题目 3 的答案是 1/3 ，题目 4 的答案是 1/2 ？

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2011/04/21 05:54pm 发表的内容：
你仔细看一下上面的题目 3 和题目 4 ，看一下它们的区别在哪里？
想一想为什么题目 3 的答案是 1/3 ，题目 4 的答案是 1/2 ？

我知道：因为题目4是确定了：第一个孩子是儿子，所以得出1/2的结论。
而题目3没确定：哪一个孩子是儿子，所以得出了1/3的结论。
那么请问：题目3中，如果按照两个孩子的性别是独立事件的思路来解答，得出1/2的结论是否正确呢？

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/21 06:52pm 发表的内容：
我知道：因为题目4是确定了：第一个孩子是儿子，所以得出1/2的结论。
而题目3没确定：哪一个孩子是儿子，所以得出了1/3的结论。
那么请问：题目3中，如果按照两个孩子的性别是独立事件的思路来解答，得出1/2的结 ...

在题目4中，“第一个孩子是儿子”与“另一个也是儿子”（即“第二个孩子是儿子”），
这两个事件是相互独立的。
但是，在题目3中，“其中一个孩子是儿子”的意思是“可能有一个或两个儿子”，
“另一个也是儿子”的意思是“有两个儿子”，这两个事件并不是相互独立的。

门外汉

我懂陆教授的意思了。
那么，如果将题目三变成这个题目：已知甲有两个孩子，并已知其中的一个孩子是儿子，那么另一个孩子是女儿的概率是多少呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
是2/3？