【朝花夕拾】 [4n/3]质数无穷

尚九天

:em05:   设 r = 4/3，试证有无穷个整数 n 使 [nr] 为质数。
                                                 (符号 [x]，表示高斯函数)

vfbpgyfk

请注意！4n永远是偶数，而且4n/3有时为偶数。当然，若说4n/3有无穷个素数，还不如说奇数中有无穷个素数，也可心说[2n/7]有无穷个素数等等。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/24 08:44am 第 2 次编辑]

下面引用由尚九天在 2011/04/24 02:38am 发表的内容：
设 r = 4/3，试证有无穷个整数 n 使［nr］为质数。
                                                 (符号［x］，表示高斯函数)

    设 p=4m+1 是一个质数，取整数 n=3m+1 ，这时有
［nr］=［4n/3］=［4(3m+1)/3］=［4m+4/3］= 4m+1 = p 。
由于形状为 p=4m+1 的质数有无穷多个，所以必有无穷多个整数
n=3m+1 使［nr］为质数。
例如：
n=4 ,［nr］=［4×4/3］=［16/3］=［5+1/3］= 5 ；
n=10 ,［nr］=［10×4/3］=［40/3］=［13+1/3］= 13 ；
n=13 ,［nr］=［13×4/3］=［52/3］=［17+1/3］= 17 ；
n=22 ,［nr］=［22×4/3］=［88/3］=［29+1/3］= 29 ；
n=28 ,［nr］=［28×4/3］=［112/3］=［37+1/3］= 37 ；
n=31 ,［nr］=［31×4/3］=［124/3］=［41+1/3］= 41 ；
……

尚九天

    先生之说，“风马牛不相及也”。
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    《左传·僖公四年》：“四年，春，齐侯以诸侯之师侵蔡。蔡溃，遂伐楚。楚子使与师言曰：‘君处北海，寡人处南海，唯是风马牛不相及也。”
                                        ˉˉˉˉˉˉˉˉ
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LLZ2008

令n=3k+0,3k+1或3k+2,k为自然数，则主楼所说可转化为4k,4k+1,4k+2,从而说明素数有无穷多。

尚九天

谢谢陆教授给出的证明！谢谢vfbpgyfk，LLZ2008二位先生关注、参与！