将 x+y+z=5 的每一组非负整数解都代入 C(5,x)C(6,y)C(7,z) 求值，它们的总和是多少？

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组合难题

luyuanhong

题  将 x+y+z=5 的每一组非负整数解都代入 C(5,x)C(6,y)C(7,z) 求值，它们的总和是多少？

解  考虑这样一个问题：

    有 5 个 A 国人、6 个 B 国人、7 个 C 国人，从中任选 5 个人，共有几种不同的选法？

    解法一

    因为共有 5+6+7=18 个人，从中任选 5 人，所以共有 C(18,5)=8568 种不同的选法。

    解法二

    设 x,y,z 分别是选出的 A,B,C 国人的人数，显然 x,y,z 是 x+y+z=5 的一组非负整数解。

    当 x,y,z 确定时，从  5 个 A 国人中选 x 个人，有 C(5,x) 种选法；从 6 个 B 国人中

选 y 个人，有 C(6,y) 种选法；从 7 个 C 国人中选 z 个人，有 C(7,z) 种选法。所以共有

C(5,x)C(6,y)C(7,z) 种选法。

    要计算全部选法的总和，就要将 x+y+z=5 的每一组非负整数解都代入 C(5,x)C(6,y)C(7,z)

求值，然后全部加起来求总和，这样得到的总和，就是不同选法的总数。

   上面两种解法得到的结果，其实应该是一样的，所以，本题要求的答案，就是 C(18,5)=8568 。

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感谢陆老师的指导