无穷级数之和 1-1+1-1+1-1+1-1+…… 到底是多少？

xfhaoym

１－１＋１－１＋１．．．．．．．．．．．．．＝？

有人说是１
有人说是０
有人说是1/2
你说是几？

luyuanhong

    无穷级数之和 1-1+1-1+1-1+1-1+…… 到底是多少？

    对于这个问题，在现在标准的数学分析中，只能说：这个级数是发散的，所以无法求和。

    但是，在非标准分析中，却可以说出无穷级数之和是多少。

    在非标准分析中，认为存在一个无穷大正整数 Ω ，它大于一切实数，称为 “无穷单位元” 。

    由 Ω 可以产生许许多多、各种各样、大小不同的无穷大量，例如：

    无穷大整数：Ω+1 ，Ω-1 ，2Ω ，2Ω+1 ，Ω^2 ，2^Ω ，(Ω-1)^Ω ，……

    无穷大有理数：Ω/2 ，(3Ω-5)/8 ，(1+Ω)^2/2 ，Ω^3/(Ω-1) ，……

    无穷大实数：√Ω ，(1+√Ω+Ω）/√Ω ，(1+Ω)^(1/3) ，……

    在非标准分析中，将 “无穷级数” 定义为：一个项数是某个无穷大正整数的级数。

无穷级数的项数，不是一个抽象的 “无穷大”，而是某个具体的无穷大正整数。

    例如，对于无穷级数 1-1+1-1+1-1+1-1+…… ，在非标准分析中，不是抽象地说

“它的项数有无穷多项”，而是必须具体地说明它的项数是一个什么样的无穷大正整数。

    级数的项数明确了，对 “无穷级数之和 1-1+1-1+1-1+1-1+…… 到底是多少？”

的回答也就可以明确了：

   如果这个级数的项数是一个无穷大偶数，例如 2Ω，4Ω，则级数之和为 0 。

   如果这个级数的项数是一个无穷大奇数，例如 2Ω+1，4Ω-1，则级数之和为 1 。

xfhaoym

谢谢LZ回答．

谢芝灵

先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：

T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

两边同时取负

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - …

我们注意到右边刚好是T-1，也就是说：

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1

所以 -T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？

你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。
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其实上面的包 等于0，或1。都是错误的。都犯了逻辑错误。
因为，不管什么数有无穷多时，则这些数列就不属 实数了（实数公理：每个实数值的大小是唯一的、确定的）。数列无穷多时就没有唯一性和确定性。
所以 １－１＋１－１＋１．．．．．．．．．．．．．≠任何实数。

任在深

谢芝灵 发表于 2017-4-11 13:13
先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：

T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

错！
     因为n→∞
     所以2n=∞
     因此该数列中一定有n个 -1，
     同理也有n个+1，
     因此该数列的极限必定是：

         lim[Σ(1，-1)]=n+(-n)=0
       n→∞
证毕。

显然数列两边同时加上负号是错误的！是篡改了原来的题意的，是不符合数理逻辑的！

谢芝灵

任在深 发表于 2017-4-11 06:28
错！
     因为n→∞
     所以2n=∞

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …≠任何实数

谢芝灵

任在深 发表于 2017-4-11 06:28
错！
     因为n→∞
     所以2n=∞

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …≠0
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …≠1
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …≠1/2
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …≠任何实数

因为 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … 就不能进入几何运算的资格。
原因是 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …的后面 不会停在+1，也不会停 -1

谢芝灵

任在深 发表于 2017-4-11 06:28
错！
     因为n→∞
     所以2n=∞

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …后面不会停止在 -1，所以不会=0
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …后面不会停止在 1，所以不会=1

因为它后面没有边界止点，所以 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …是一个非整体、不具确定性，永进进不了数（数有唯一性和确定性）。
故 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … 不能确定为一个（或几个）数。=== 逻辑解释：不具确定性！

APB先生

哈哈哈，有意思。请问：

1+2+3-1-2-3+1+2+3- ……=？

谢芝灵

APB先生 发表于 2017-4-11 08:26
哈哈哈，有意思。请问：
1+2+3-1-2-3+1+2+3- ……=？

不等于任何实数！
因为 1+2+3-1-2-3+1+2+3- ……不会停在 1，也不会停在2，又不会停在3，更不会停在-1，还不会停在-2，也没停在-3
得 1+2+3-1-2-3+1+2+3- ……不具确定性和唯一性。
所以 1+2+3-1-2-3+1+2+3- ……≠实数