数学中国

标题: 实无穷与潜无穷 [打印本页]

作者: elim 时间: 2017-4-11 12:23
标题: 实无穷与潜无穷
最近论坛出现不少专论无穷，实无穷，无穷大无穷小等等问题的帖子，发帖者每次都以彻底搞定问题的姿态，口吻出现，但接着又发起的主题就跟批倒刘少奇那样，只要还在批，就是没批倒。就好象过去元旦社论总是说连年粮食丰收，现在真的不愁粮食短缺了，就没人这么热衷丰收的问题了。

所以真正气短的就是不断宣告拥有“正确”无穷观的先生们。拿jzkylljcl 来说，他的东西有明显的寄生性，真的没有了无尽小数，他的全部胡扯也就没有意义了。所以一方面他靠现行数学的全部成果过日子，一方面他诋毁现行数学的基础，自以为他那套不能自圆其说的基础可以让数学变得“更好”。当然，遇到任何实质性问题，他会说“我老了，你们接着研究”，碰到他的自相矛盾，他会说这个问题可以说是黑，也可以说是白，这叫唯物辩证。他的这种态度用到他自己身上就是“jzkyllcjl 可以是人，也可以不是，端碗扒饭时看似像人，否则不是”。

从各位大谈无穷的帖子里，很少看到有厚实数学素养的见解。公说公有理婆说婆有理这种市井恶习搞到论坛，牛鬼蛇神7，8分钟而不是七八年就跳出来，真是搞笑。

其实么，对认真从事或学习数学的朋友来说，实无穷是很自然的事情：喜欢或关注数论的朋友不会不知道欧几里德证明素数无穷多的方法。没有人会认为欧几里德那是在制造素数，他只是从素数有限多的假设推出了矛盾而已。也许没有欧几里德，素数无穷多这件事人类要推迟很久才了解，但没有人认为不知道。或者没人证明这个定理，素数实际上就只有有限个。所以说，素数无穷是一个不以人的意志为转移的数学事实，素数全体是一个确定的，无需进一步构建的数学存在。这个存在就是素数集合，它不是有限集，在这个意义上说，它是一个实无穷。今天有不少人在叫嚷这不是一个完成了的集合等等。理由是他数不过来，写不到底。但更多对数学认真的人，包括欧几里德，康托，都不会用这种以人的意志为转移的方式解读‘完成“这个观念。人写不完，数不过来跟实无穷的既存性没有半毛钱关系。你写也好，不写也好，素数集合都不受影响地，确定的存在着。这就叫离了任何个人地球还转啊！

通过上面的论述，实无穷不过是非有限集合的共性而已，它反映的数学事实随处可见。现在转而谈谈与之相对立的潜无穷观念。不容置疑，任何无穷直觉地，主观经验地都是潜无穷。无穷超越了人的感知限度，人只能感性地处理极其有限的事物，再多他只用无有穷尽，不断延伸之类的话来形容。但用人的主观知觉的有限性取代数学实际和理性判定，除了一厢情愿，并没有什么道理可言。潜无穷观在历史上曾经是解决康托朴素集合论中概括原则带来的悖论的一种化解选择。被许多杰出的，天才数学家所提倡。但进一步深入的研究表明，潜无穷观与元数学是格格不入的。数学就其本质是没有时间的。集合的确定性本质是否定变更的，人们可以构建，定义新集合，却不能改动已有的集合，在这个意义上说，不存在有待完成的，或未完成的集合。潜无穷概念在主流数学的集合论中已经被完全剔除。这不是任何个人的喜好，而是数学的客观性，确定性本质的必然结果。提倡潜无穷的数学天才们的绝大部分成果，离开了实无穷基础都会化为乌有。当然这并不是说潜无穷就一无是处。理论上潜无穷没有根基，但实用上它是人们能够操作性地，“模拟无穷”的唯一途径。计算机科学必须遵循有限操作原则，潜无穷论者，直觉主义者强调的有限构造原则被主流数学吸收，成为可计算性等理论的内在动机。

实无穷潜无穷观的对立在很大程度上是单方面的。潜无穷论者否定实无穷观，而实无穷论者并不排斥有限操作。只是不像潜无穷论者那么极端地局限在有限操作原则中。所有潜无穷论得到的结果，都可以在实无穷框架中得到，反之不然，潜无穷可以达到的结果只是数学世界的很小的一角。

实无穷数学在一个世纪前面临深刻的危机。但这个危机极大地刺激了数学基础的研究。今天还在持一个世纪前潜无穷论者对实无穷论的见解，多少是对现代数学基础研究缺乏了解的表现。

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 13:34
素数无穷、自然数无穷，只证明了无穷的存在性。
那么，有一个无穷大的素数吗？有一个无穷大的自然数吗？=== 显然是否定的。
可以证明没有一个无穷大的自然数。
证明：假设有一个无穷大的自然数p，则必有一个自然数p+1＞p
显然p不是个无限大的自然数。得假设不成立。

上面证明了无穷大不是一个实数，所以不能与所有实数有几何关系。

作者: elimqiu 时间: 2017-4-11 14:43
本帖最后由 elimqiu 于 2017-4-11 08:03 编辑

谢芝灵发表于 2017-4-11 05:34
素数无穷、自然数无穷，只证明了无穷的存在性。
那么，有一个无穷大的素数吗？有一个无穷大的自然数吗？== ...

楼上谢芝灵扯到哪里去了？无穷集合的存在与无穷集是否有无穷大元是没有必然关系的两件事．否定了后者也不等于就否定了无穷集合的既存性．另外，无穷集合远远不止于数集，一般未必有几何表示，拿扭曲了的整体，边界作为集合存在性判断准则的思想本身就畜生不如．

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 15:07

elimqiu 发表于 2017-4-11 06:43
楼上谢芝灵扯到哪里去了？无穷集合的存在与无穷集是否有无穷大元是没有必然关系的两件事．否定了后者也不 ...

无穷数列有存在性，无穷有存在性。
无穷集永远不存在。=== 因为“无穷”与“集”是一组矛盾。无穷就不能集合！就像 +1≠-1
说出 “无穷集”的人就是混蛋！就是吃屎的人！

作者: elimqiu 时间: 2017-4-11 16:01
本帖最后由 elimqiu 于 2017-4-11 08:06 编辑

谢芝灵何必客气，吃狗屎是你孙子jzkyllcjl 首创，又孝顺到你辈的绝活，就这么慷慨出让，叫jzkyllcjl 怎么想？触犯了你畜生不如的驴理也是沒有办法的事么，如今这世道，畜生犟不过人己成定局．你连畜生都不如，有什么可能逆翻人类思维？人类的观念，例如无穷基数等对畜生没有意义，对不如畜生的更不必说了．

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 17:02

谢芝灵发表于 2017-4-11 07:07
无穷数列有存在性，无穷有存在性。
无穷集永远不存在。=== 因为“无穷”与“集”是一组矛盾。无穷就 ...

集合的定义是什么？？？

一个班50人，进教室30人，算这个班集合了吗？？？？
无穷大，是没完没了的。能集合？？？？

无穷集的逻辑就是乡下老人要吃 “热冰棍”。

作者: APB先生 时间: 2017-4-11 17:19

谢芝灵发表于 2017-4-11 13:34
素数无穷、自然数无穷，只证明了无穷的存在性。
那么，有一个无穷大的素数吗？有一个无穷大的自然数吗？== ...

有限大的自然数有很多个，无限大的自然数有更多个 ! 你的证明是错误的。

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 17:33

APB先生发表于 2017-4-11 09:19
有限大的自然数有很多个，无限大的自然数有更多个 ! 你的证明是错误的。

你这不是屁话吗？
当你确定这“某个”自然数时，它就是有限大的。
所以没有无限大的数。
只要是被人类指出的实数，都是有限大的。

数的大小是比较而言的。有比较才有大小。
假设有个 “无限大的数k”我又能找到 k+1＞k，所以 k就不是无限大的数了。
得假设不成立。
故，没有无限大的数。

其逻辑：无穷大就不是个数。====“无穷大”不具确定性。与公理矛盾。

作者: APB先生 时间: 2017-4-11 18:08
本帖最后由 APB先生于 2017-4-11 18:10 编辑

谢芝灵发表于 2017-4-11 17:33
你这不是屁话吗？
当你确定这“某个”自然数时，它就是有限大的。
所以没有无限大的数。

你可真不懂道理！不懂有限<无限的道理！你的证明是荒谬的。

全体自然数集合 N ={0,1,2, …} 就是一个公认的无穷集，其元素必然是无限多个，与无限小数 0.33…… 中 3 的个数同样是无限多个。认为 N ={0,1,2, …} 中只有有限个自然数，是错误的，无知的。

假设 N_r = {0,1,2, …，r} 是有限大自然数集，N_n= {n1,n2,n3, ……} 是由无限大自然数组成的集合，则必有：

|N_r| <<< |N_n|

作者: elimqiu 时间: 2017-4-11 18:20

谢芝灵发表于 2017-4-11 09:02
集合的定义是什么？？？

一个班50人，进教室30人，算这个班集合了吗？？？？

集合的定义问题，吃狗屎的谢芝灵居然也问得出来？你孙子jzkyllcjl 是怎么调教你的? 其实吧，你既然都畜生不如了，扯集合有意思吗？群环域统统建立在集论基础上，你完全不知道集合有什么用，都被现代数学甩出万重山了，你不住啼搞不定无穷的猿声，跟人类没关系呵．

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 19:00

APB先生发表于 2017-4-11 10:08
你可真不懂道理！不懂有限

请证明：有限<无限
没证明的就不要信口开河了。

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-11 19:01

elimqiu 发表于 2017-4-11 10:20
集合的定义问题，吃狗屎的谢芝灵居然也问得出来？你孙子jzkyllcjl 是怎么调教你的? 其实吧，你既然都畜生 ...

你拿个集合的定义出来啊，扯些没用的干什么

作者: elimqiu 时间: 2017-4-11 21:42

谢芝灵发表于 2017-4-11 11:01
你拿个集合的定义出来啊，扯些没用的干什么

怎么? 吃狗屎的需要接受人类的教育？是可教之材吗？

作者: awei 时间: 2017-4-11 22:09
人的生命是有限的，语言是有限的，甚至于思维的都是有限的，一个没有吃过苹果的人，是永远也想象不到的苹果的味道。人类想用有限的生命和语言去阐述无限的宇宙，必须要学会如何抛弃。抛弃那些没意义无休止的的争论，用心去体验无限的波澜壮阔！
现代科技有时让人类过于盲目自大，即使人类全部灭绝也无法全部掌握数字的规律，这就是事实，谁也无法改变。

作者: elim 时间: 2017-4-11 22:43
关于实无穷潜无穷之争的考察，并不是旨在穷究数的全部奥秘，而是树立一个基本合理的数学观和方法论。

当然，这并不是说所有爱好数学的人都应当投身于数学基础的研究中去。生命有限，奇怪竟有献身于啼搞不定 0.333... 的猿声的人。

作者: awei 时间: 2017-4-12 00:15
0.3333……换算成三进制就是0.1，就不是无限循环小数。
这说明数学对于循环小数的定义与进制有关。
这个现象也蛮有趣。
十进制0.999999……＝1＝十进制无穷级数∑9/10^i
二进制0.1111……＝1＝十进制无穷级数∑1/2^i
三进制0.2222……＝1＝十进制无穷级数∑2/3^i
四进制0.3333……＝1＝十进制无穷级数∑3/4^i
等等等等进制……
无穷级数∑9/10^i＝∑1/2^i＝∑2/3^i＝∑3/4^i＝∑（n－1）/n^i………＝1
而十进制的1/3＝∑3/10^i人工要换算成其他进制则要复杂的多，计算机辅助则就很方便，还可以看出一些规律。
有趣的问题让写不完变得不那么有趣了，呵呵！

作者: 红树 时间: 2017-4-12 00:15
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作者: elim 时间: 2017-4-12 02:07

awei 发表于 2017-4-11 09:15
0.3333……换算成三进制就是0.1，就不是无限循环小数。
这说明数学对于循环小数的定义与进制有关。
这个 ...

写不完的东西都是不需要写完的。扯写不完的是写几下就扯别的去了。知道1/3 的十进制小数表示是循环小数，只需要比啼搞不定0.333... 聪明一点。不过这一点可不是谁都过得去的。因为不知道无尽小数的主流数学定义，也不接受级数理论。所以真正的问题在于，到底人是在认识数，还是通过写数在造数？

如果认为任何实数的小数表示都不以人的意志为转移，被其本身确定，就是在所考虑的进制下的值，那就没有什么可纠结的事了，理论统一而优美。反之，如果认为一个实数可以只有名没有确切的值(即其在给定进制下的坐标) 的话，就产生jzkyllcjl 畜生不如的数学。一辈子搞不了 0.333...，

作者: APB先生 时间: 2017-4-12 09:26

谢芝灵发表于 2017-4-11 19:00
请证明：有限

举个例证，0.3 是个有限小数，0.33… 是个无限小数，则有

0.3<0.33…

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-12 10:29
本帖最后由谢芝灵于 2017-4-12 02:48 编辑

awei 发表于 2017-4-11 16:15
0.3333……换算成三进制就是0.1，就不是无限循环小数。
这说明数学对于循环小数的定义与进制有关。
这个 ...

0.3333……换算成三进制就是0.1，就不是无限循环小数。==== 你偷换概念了。
应为：1/3换算成三进制就是0.1，就不是无限循环小数。

0.3333……是它的逻辑和概念。
1/ 3是 1/3的逻辑和概念。

你倒好，先入为主，强行定义 0.3333……=1/3，你再来证明 0.3333……=1/3

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-12 10:38

红树发表于 2017-4-11 16:15

假命题：因为在第一个图中，取 AB中点M，取AC中点N，连结MN，得 MN平行BC，再作一直线平行AB，
会得到一个新三角形 ∽三角形ABC，显然两者不全等（整体大于部分）

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-12 10:45

APB先生发表于 2017-4-12 01:26
举个例证，0.3 是个有限小数，0.33… 是个无限小数，则有
0.3

谁告诉你： 0.3大于0.33…？ ==== 你逻辑不通！
只能是： 0.3大于0.33
也可是： 0.3大于0.333

0.3与 0.33…无大小可比性。0.3是整体，0.33…是非整体。
逻辑：公理-----整体大于部分。0.33…不是整体，所以不能大于0.3。
得 0.3与0.33…属两个不同的概念，不同的体系。

作者: APB先生 时间: 2017-4-12 11:02

谢芝灵发表于 2017-4-12 10:45
谁告诉你： 0.3大于0.33…？ ==== 你逻辑不通！
只能是： 0.3大于0.33
也可是： 0.3大于0.333 ...

0.3与 0.33…无大小可比性。0.3是整体，0.33…是非整体。

按你的逻辑，0.3也是非整体；因为 0.3 =0.15+0.075+0.0375+…… 。正好与0.33…有可比性。

作者: 谢芝灵 时间: 2017-4-12 11:06

APB先生发表于 2017-4-12 03:02
按你的逻辑，0.3也是非整体；因为 0.3 =0.15+0.075+0.0375+…… 。正好与0.33…有可比性。

0.3也是整体！

谁告诉你 0.3 =0.15+0.075+0.0375+…… ？？？你又用循环变相自残理论了。

作者: elim 时间: 2017-4-12 11:44
谢芝灵的畜生不如“整体”论，是谁告诉他的？畜生不如的 jzkyllcjl 吗？

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-4-14 16:30
自古以来，在数学理论研究中始终存在着无穷概念的争论。就当代来讲，文献[1]谈到：康托儿认为“数学理论必须肯定实无穷”、“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”[1]。究竟如何呢？笔者经过55年的研究之后发现：这是一个必须使用唯物辩证法才能解决的问题。这个方法要求我们不仅要使用形式逻辑法则与规律，而且要使用辩证逻辑。“辩证逻辑则要求我们继续深入。要真正认识事物，就必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’。”[2]
因此，我们首先应当知道：从语文上讲，黑与白、美与丑、轻与重等许多概念都具有相对性；无穷与有穷都是描述变数或变量时使用的形容词：有穷是有尽头，有结束的意思：“无穷”二字是无有穷尽、无有终了、无有结束、无有最后、无法完成的意思。数学理论中的无穷数列、无穷大、无穷小、无穷集合、无穷级数、无穷点集、无尽小数、无穷分割都是在这个意义下提出的数学术语。第二，恩格斯讲过：“可是如说纯数学中理性涉及的只是自身的创造和想象的产物，那是完全不对的。数和形的概念不是从任何地方得来，而仅仅是从现实世界中得来的。因此，应当知道：“数学理论是研究现实数量大小（例如线段长度）及其关系的科学”、虽然概念是数学理论中必须的，概念应当是反映客观对象底一般的、本质的属性的思维形式，但“数学中的一切概念（包括定义、公理）都是从现实实践中抽象出来的，这种抽象工作依赖于人的思维，因此已有的概念难免有争论，这些争论还需要在继续的实践研究中解决”。必须知道：“概念应当是可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确的反映现实”，实践是检验认识真理的根本手段。概念来自于实践，并在继续的实践中接受验证与修改。

作者: elim 时间: 2017-4-15 01:23
谢芝灵, jzkyllcjl 的问题在于热衷于吃狗屎. 也就是做无意义的事。在没有根基的情况下谈论实无穷潜无穷的问题，

为了推销畜生不如数学，炮制一系列“公理，定义”，到头来完全不成体统，自相矛盾，胡说八道，人见人厌。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-4-15 02:30

elim 发表于 2017-4-14 17:23
谢芝灵, jzkyllcjl 的问题在于热衷于吃狗屎. 也就是做无意义的事。在没有根基的情况下谈论实无穷潜无穷的问 ...

你的程度就是违反语文意义的叙述数学理论。你根本没有看我的帖子，只知道说吃狗屎。

作者: elimqiu 时间: 2017-4-15 07:45

jzkyllcjl 发表于 2017-4-14 18:30
你的程度就是违反语文意义的叙述数学理论。你根本没有看我的帖子，只知道说吃狗屎。

你既然吃狗屎，就不要指望别人认真读你的贴子．如果你继续篡改数学术语，就没人能跟你讨论任何数学．

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-4-15 09:04
你1楼的论述只是说：素数是无穷多，自然数是无穷多。我和谢芝灵，都没有反对，也没有否定无穷集合的存在性。但是，我们都认为：无穷是无有穷尽、无有终了、无限延续下去、没有结束、没有最后的事物，它可以被认为是存在着的事物，但存在的不是已经完成了的事物，而是还在无限延续其元素的事物。这个无限延续的极限才是趋向性质的，不可被完成的、想象性质的、理想性质的无穷集合。

作者: elimqiu 时间: 2017-4-15 09:16
你们的认为就是吃了狗屎的征兆：集合本身无所谓不想沒完没了，你的没有逻辑的感受如此而已．这跟无尽小数一样，你用有限小数冒充它时就觉得它是变数：但真正变的是你的冒充．

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-4-15 09:36

elimqiu 发表于 2017-4-15 01:16
你们的认为就是吃了狗屎的征兆：集合本身无所谓不想沒完没了，你的没有逻辑的感受如此而已．这跟无尽小数一 ...

根据皮亚诺继数公理，就可以确定自然数集合是其元素无限延续下去的、没完没了的，无有结束的不可被完成的非正常集合。

作者: elim 时间: 2017-4-15 10:31
皮亚诺公理并不表明自然数集合一直在构造中. 你狗屎吃多了，就不知道无穷公理在说什么。

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