各位数字之和为 7 的自然数从小到大排成一个数列 {a(n)}，已知 a(n)=2005 ，求 a(5n)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-4-16 08:27
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

          和是1  和是2  和是3  和是4  和是5  和是6  和是7  和是8  
1位数     1        1        1        1        1        1        1        1
2位数     1        2        3        4        5        6        7        8
3位数     1        3        6       10      15       21      28      36
4位数     1        4       10      20       35      56      84     120
5位数     1        5       15      35       70     126     210    330
6位数     1        6       21      56      126    256     466
7位数     1        7       28      84      210    466
8位数     1        8       36     120     330

1，由上表“和是7” 可知：1+7+28=36   即最后一个三位数700是第36个数
    36=700
    37=1006
    38=1015
    39=1024
    40=1033
    41=1042
    42=1051
    43=1060
    ............
    61=1420
    62=1501
    63=1510
    64=1600
    65=2005

2，根据题意：a=65    5a=325

3，由表“和是7” 可知：1+7+28+84+210=330   即最后一个五位数70000是第330个数
    倒推回去
    330=70000
    329=61000
    328=60100
    327=60010
    326=60001
    325=52000

4，答案：第325个数是52000

awei

三位吉祥数只有28个，即三位数位数和等于7的只有28个，不知道怎么都算成36个，都错的有点离谱。
106
115
124
133
142

152
160
205
214
223

232
241
250
304
313

322
331
340
403
412

421
430
502
511
520

601
610
700

awei

【题】各位数字之和为 7 的自然数从小到大排成一个数列 {a(n)}，已知 a(n)=2005 ，求 a(5n) 为何？
【解】规定C(0，0)＝1，C(m，0)＝1，
规定n＞m，C（m，n）＝0。
如：C(6，8)＝0。
非0数字相加和为7的所有可能。
1个非0数相加和为7有：C(6，0)＝1种。
2个非0数相加和为7有：C(6，1)＝6种。
3个非0数相加和为7有：C(6，2)＝15种。
4个非0数相加和为7有：C(6，3)＝20种。
5个非0数相加和为7有：C(6，4)＝15种。
6个非0数相加和为7有：C(6，5)＝6种。
7个非0数相加和为7有：C(6，6)＝1种。
8个非0数相加和为7有：C(6，8)＝0种。
n∈{1，2，3，4，5，6，7}
m位数有n个非0数：（不考虑顺序，m个方格，非0填1，0填0。第一格必为1，有C(m-1，n-1)种不同排列。）。考虑顺序，位数和为7，有C(m-1，n-1)×C(6，n-1)种。
m位数共有吉祥数：∑ n_（1，7），C(m-1，n-1)×C(6，n-1)个。
1位数有1个吉祥数。
2位数有7个吉祥数。
3位数有28个吉祥数。
4位数有84个吉祥数。
5位数有210个吉祥数。
6位数有537个吉祥数。
1000到2000吉祥数有19个。
1+7+28+19＝55
a_(55)＝2005
1到10000有1+7+28+84＝120个吉祥数。
a_(275)便是第155个五位吉祥数。或者倒数第56个五位数吉祥数。

luyuanhong

awei 发表于 2017-4-16 12:43
三位吉祥数只有28个，即三位数位数和等于7的只有28个，不知道怎么都算成36个，都错的有点离谱。
106
115
...

在第 2 楼中，我的解答一开始，我就作了一个声明：

为叙述简单起见，下面将位数小于等于 m 的数都称为 “m 位数”。

所以下面我说：数字之和为 7 的 3 位数有 36 个。

这 36 个 “3 位数”，其实是包含 1 位数和 2 位数在内的。

awei

luyuanhong 发表于 2017-4-16 05:07
在第 2 楼中，我的解答一开始，我就作了一个声明：

为叙述简单起见，下面将位数小于等于 m 的数都称 ...

谢谢陆老师，明白了！