【求助】一般一元三次方程如何化去一次项？

风花飘飘

x^3+ax^2+bx+c=0化为：y^3+dY^2+e=0？

谢芝灵

设 ： x=y+k
则 ：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0
      y^3+3y^2k+3yk^2+k^3+a(y^2+2yk+k^2)+by+bk+c=0
y^3+y^2(3k+a)+y(3k^2+2ak+b)+k^3+ak^2+bk+c=0
令： 3k^2+2ak+b=0                     （1）
得 ：y^3+y^2(3k+a)+k^3+ak^2+bk+c=0               （2）
解出（1）式中的k，代入 （2）式得：
y^3+y^2(3k+a)+k^3+ak^2+bk+c= y^3+dy^2+e=0   

angel_phoenix99

(x+β)^3=x^3+3βx^2+(3β^2)x+β^3

定义3β^2=b就可以了


不过我通常都是消除x^2相(a=3β)

风花飘飘

谢芝灵 发表于 2017-4-16 14:19
设 ： x=y+k
则 ：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0
      y^3+3y^2k+3yk^2+k^3+a(y^2+2yk+k^2)+by+bk+c=0

hao,好好好。。。。。。。。。。。。。。

好石

消去一次的方法有无穷多种！

同时消去一次项和二次项的方法也有无穷多种!

风花飘飘

x^3+ax^2+bx+c=0化为：y^3+dY^2+e=0？
设 ： x=y+k
则 ：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0
即： y^3+(3*k+a)*y^2+(3*k^2+2*a*k+b)*y+k^3+a*k^2+b*k+c=0
令：3*k^2+2*a*k+b=0
取： k = (((a^2-3*b)^(1/2)-a)/3)
由：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0
得：(27*y^3+sqrt(a^2-3*b)*(27*y^2+6*b-2*a^2)+27*c-9*a*b+2*a^3)/27=0

风花飘飘

x^3+ax^2+bx+c=0化为：y^3+dY^2+e=0？

设 ： x=y+k

则 ：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0

即： y^3+(3*k+a)*y^2+(3*k^2+2*a*k+b)*y+k^3+a*k^2+b*k+c=0

令：3*k^2+2*a*k+b=0

取： k = (((a^2-3*b)^(1/2)-a)/3)

由：(y+k)^3+a(y+k)^2+b(y+k)+c=0

得：(27*y^3+sqrt(a^2-3*b)*(27*y^2+6*b-2*a^2)+27*c-9*a*b+2*a^3)/27=0

取：y = (sqrt(729*c^2+((324*sqrt(a^2-3*b)-486*a)*b+108*(a^2-3*b)^(3/2)-108*a^2*sqrt(a^2-3*b)+108*a^3)*c+108*b^3+(36*(a^2-3*b)-108*a*sqrt(a^2-3*b)-27*a^2)*b^2+((-24*a^2*(a^2-3*b))+24*(a^2-3*b)^2-36*a*(a^2-3*b)^(3/2)+60*a^3*sqrt(a^2-3*b))*b+4*a^4*(a^2-3*b)+4*(a^2-3*b)^3-8*a^2*(a^2-3*b)^2+8*a^3*(a^2-3*b)^(3/2)-8*a^5*sqrt(a^2-3*b))/54-(27*c+6*sqrt(a^2-3*b)*b-9*a*b+2*(a^2-3*b)^(3/2)-2*a^2*sqrt(a^2-3*b)+2*a^3)/54)^(1/3)+(a^2-3*b)/(9*(sqrt(729*c^2+((324*sqrt(a^2-3*b)-486*a)*b+108*(a^2-3*b)^(3/2)-108*a^2*sqrt(a^2-3*b)+108*a^3)*c+108*b^3+(36*(a^2-3*b)-108*a*sqrt(a^2-3*b)-27*a^2)*b^2+((-24*a^2*(a^2-3*b))+24*(a^2-3*b)^2-36*a*(a^2-3*b)^(3/2)+60*a^3*sqrt(a^2-3*b))*b+4*a^4*(a^2-3*b)+4*(a^2-3*b)^3-8*a^2*(a^2-3*b)^2+8*a^3*(a^2-3*b)^(3/2)-8*a^5*sqrt(a^2-3*b))/54-(27*c+6*sqrt(a^2-3*b)*b-9*a*b+2*(a^2-3*b)^(3/2)-2*a^2*sqrt(a^2-3*b)+2*a^3)/54)^(1/3))-sqrt(a^2-3*b)/3

则：
x=y+k
=(sqrt(729*c^2+((324*sqrt(a^2-3*b)-486*a)*b+108*(a^2-3*b)^(3/2)-108*a^2*sqrt(a^2-3*b)+108*a^3)*c+108*b^3+(36*(a^2-3*b)-108*a*sqrt(a^2-3*b)-27*a^2)*b^2+((-24*a^2*(a^2-3*b))+24*(a^2-3*b)^2-36*a*(a^2-3*b)^(3/2)+60*a^3*sqrt(a^2-3*b))*b+4*a^4*(a^2-3*b)+4*(a^2-3*b)^3-8*a^2*(a^2-3*b)^2+8*a^3*(a^2-3*b)^(3/2)-8*a^5*sqrt(a^2-3*b))/54-(27*c+6*sqrt(a^2-3*b)*b-9*a*b+2*(a^2-3*b)^(3/2)-2*a^2*sqrt(a^2-3*b)+2*a^3)/54)^(1/3)+(a^2-3*b)/(9*(sqrt(729*c^2+((324*sqrt(a^2-3*b)-486*a)*b+108*(a^2-3*b)^(3/2)-108*a^2*sqrt(a^2-3*b)+108*a^3)*c+108*b^3+(36*(a^2-3*b)-108*a*sqrt(a^2-3*b)-27*a^2)*b^2+((-24*a^2*(a^2-3*b))+24*(a^2-3*b)^2-36*a*(a^2-3*b)^(3/2)+60*a^3*sqrt(a^2-3*b))*b+4*a^4*(a^2-3*b)+4*(a^2-3*b)^3-8*a^2*(a^2-3*b)^2+8*a^3*(a^2-3*b)^(3/2)-8*a^5*sqrt(a^2-3*b))/54-(27*c+6*sqrt(a^2-3*b)*b-9*a*b+2*(a^2-3*b)^(3/2)-2*a^2*sqrt(a^2-3*b)+2*a^3)/54)^(1/3))-sqrt(a^2-3*b)/3+(((a^2-3*b)^(1/2)-a)/3)
化简得：