数学理论中无穷概念的争论及其解决方法

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自古以来，在数学理论研究中始终存在着无穷概念的争论。就当代来讲，文献[1]谈到：康托儿认为“数学理论必须肯定实无穷”、“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”[1]。究竟如何呢？笔者经过55年的研究之后发现：这是一个必须使用唯物辩证法才能解决的问题。这个方法要求我们不仅要使用形式逻辑法则与规律，而且要使用辩证逻辑。“辩证逻辑则要求我们继续深入。要真正认识事物，就必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’。”[2]
因此，我们首先应当知道：从语文上讲，黑与白、美与丑、轻与重等许多概念都具有相对性；无穷与有穷都是描述变数或变量时使用的形容词：有穷是有尽头，有结束的意思：“无穷”二字是无有穷尽、无有终了、无有结束、无有最后、无法完成的意思。数学理论中的无穷数列、无穷大、无穷小、无穷集合、无穷级数、无穷点集、无尽小数、无穷分割都是在这个意义下提出的数学术语。第二，恩格斯讲过：“可是如说纯数学中理性涉及的只是自身的创造和想象的产物，那是完全不对的。数和形的概念不是从任何地方得来，而仅仅是从现实世界中得来的。因此，应当知道：“数学理论的真谛是研究现实数量大小（例如线段长度）及其关系的科学”；虽然概念是数学理论中必须的，概念应当是反映客观对象底一般的、本质的属性的思维形式，但“数学中的一切概念（包括定义、公理）都是从现实实践中抽象出来的，这种抽象工作依赖于人的思维，因此已有的概念难免有争论，这些争论还需要在继续的实践研究中解决”。必须知道：“概念应当是可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确的反映现实”，实践是检验认识真理的根本手段。概念来自于实践，并在继续的实践中接受验证与修改。第三，毛泽东《矛盾论》中讲到“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展”。有穷与无穷是数学理论中的一对基本的对立统一的、相互依存的矛盾。需要使用极限方法把它们联系起来。本文将依据上述三点，讨论一下数学理论中与无穷有关的问题。
1 无穷数列的提出与性质
首先，不需要像现行教科书那样，把无穷数列看作是定义在自然数集合上的函数。人类的祖先根据实践制造了自然数的十进位记数法则，根据这个法则，可知：任意自然数后边还有后继自然数，将这些自然数从小到大排列起来，就得到：
0.1，2，3，……，n-1,n,n+1,……       （1）
这个数列中的数是无限延续着的、无有穷尽、无有终了的，写不到底的无穷数列，所以这个数列叫做自然数基本的无穷数列。根据这个数列，使用一一对应法则 可以得到无穷数列
   1，1/10,1/10^2,1/10^3,……,!/10^n,……                      （2）
根据基本无穷数列，使用一一对应法则，还可以提出许多其它的无穷数列，所有无穷数列都具有“其元素无限延续下去的，永远写不到底的无有穷尽的、永远变化下去的变数性质”。