投一点数为 112233 的骰子，直到三种点数都出现为止，求所需投掷次数 X 的期望值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

重複投擲公正六面體骰子  點數為  112233  已知每次投擲互相獨立

投到第 x 次  洽有三種點數都出現過了 (即前x-1次只出現兩種點數)

求 x 的期望值

luyuanhong

Ysu2008

这道题也可以转化为用马氏链求解。

假设我们有一个计数器 S=0，在掷骰子时，如果掷出之前没有出现过的点数，则计数器S+1，如果掷出已出现过的点数则计数器保持不变；因此计数器共有4个状态：0，1，2，3；当计数器转移到状态3时意味着所有点数均已出现，过程结束。

不难算出计数器4个状态之间的转移概率矩阵如图：


所以，状态转移概率矩阵 R =
       0              1              0      
       0              1/3            2/3     
       0              0              2/3     

因为，G = (I - R)^(-1) =
       1              3/2            3      
       0              3/2            3      
       0              0              3      

由马氏链理论，矩阵 G 的第1行元素和 1+3/2+3 = 11/2 就是状态0转移到3平均所需步数，即是本题出现三种点数所需投掷次数的期望值。

luyuanhong

谢谢楼上 Ysu2008 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong