已知 m=36 是 a,b,c 中任何两数的最小公倍数，问：这样的（a,b,c）共有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题 已知 m=36 是 a,b,c 中任何两数的最小公倍数，问：这样的（a,b,c）共有几组？

解  因为 m=36=2^2×3^2 ，所以 m=36 要成为 a,b,c 中任何两数的最小公倍数，在

(a,b),(a,c),(b,c) 的每一组中，2 的最高幂次必须是 2 ，3 的最高幂次也必须是 2 。

    要使得 (a,b),(a,c),(b,c) 中，2 的最高幂次都是 2 ，有下列三种可能：

（一）a,b,c 三个数中，2 的幂次都是 2 ，这样的情况只有 1 种。

（二）a,b,c 三个数中，有两个数 2 的幂次是 2 ，有一个数 2 的幂次是 1 ，这样的

情况有 3 种。

（二）a,b,c 三个数中，有两个数 2 的幂次是 2 ，有一个数 2 的幂次是 0 ，这样的

情况有 3 种。

   总之，要使得 (a,b),(a,c),(b,c) 中，2 的最高幂次都是 2 ，有 1+3+3=7 种情况。

   同理，要使得 (a,b),(a,c),(b,c) 中，3 的最高幂次都是 2 ，也有 1+3+3=7 种情况。

   所以，能满足 “36 是 a,b,c 中任何两数最小公倍数” 要求的 (a,b,c) 的组数，共计有

                   7×7=49 种。