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看到谢芝灵等学者的计算公式，现在谈谈笔者的认识。
第一，圆与圆周长的基本概念。
现实世界中存在着人做的铁饼、圆筒；存在着人在黑板上画的圆周，在纸上画的圆周。画圆时，圆规的一脚固定在一个点上，另一只脚，划出圆周。划圆时，固定点叫做圆心，这个圆心实际上有大小，但可以被看作只有位置而没有大小的理想点，划圆时，划出的圆周有时转一圈后不能对接；被划出圆周有粗细，但可以被看作能对接，而且可以被看作没有粗细的曲线，还可以提出圆周上的每一个理想点到圆心的直线段长度相等的概念，这个长度叫做圆的半径，将任一半径延长到圆周的另一个点上的两个圆周上理想点之间的直线段叫作圆的直径。这个直径可以被认为是一个现实直线段，而且可以认为它有确定的长度（记作D），表示这个长度的符号叫做理想实数（笔者把理想实数定义为现实数量大小的表达符号，它可以简称伟实数）。每一个圆周的长度也可以被认为是一个确定的理想实数（记作L）。这两个实数的大小及其关系都可以使用度量单位（例如米尺）进行度量，但度量做不到绝对准。现行几何学已经得到：“圆周的长度是其内接和外切彼此对应的正多边形当其边数无限地倍增时的共同极限”（参看文献[1]，马忠林译，[苏]初等几何学教程，高等教育出版社。1955年140页）。而且几何学家已经证明：圆周长与直径的比是个常数，因此可以规定圆周长与直径之比为圆周率（记作π）； 它等于直径为1的圆周长。上述概念说明：几何学中的圆周与圆周长概念具有理想性、它来源于、抽象于现实的实践。下边根据这个概念，研究圆周率（单位圆的周长）π的计算问题。
第二，圆周率（它等于单位圆周长）的几个计算公式。根据上述圆周长的极限概念，计算单位圆的周长时。可以首先作圆内接正四边形，将这个四边形的周长与直径的比记作A1，经计算得：A1=4×1/2×2 sinπ/2^2=2^2 sinπ/2^2=2√2；再将四边形每一边等分为二，这些等分线与圆周的交点与原有四边形与圆周交点依次连接得内接正8边形。记这个内接正8边形的周长为A2，画出图形，这个内接正8边形每一边对应的圆心角为π/4，每一边的长度为：2×1/2×sinπ/2^3=sinπ/2^3，于是得：A2=2^3×sinπ/2^3=/2^3√（1-cosπ/4）/2=2^2√(2-√2) ≈3.06，再将8边形每一边等分为二，得内接正十六边形，记其周长记为A3，依照上述方法，得A3= 2^(3+1)×sinπ/2^(3+1) = 2^3×√(2--√(2+√2)。 由此可以想到：依次下去得到倍增的内接正2^n+1 边形，记这个正2^n+1 边形的周长为An,。这个正2^n+1 边形的每一边对的圆心角为：π/2^n，其周长是An= L/D=(2^n+1)sinπ/2^(n+1) 与谢芝灵的公式
An=2^n √(2-√（2+√（2+……+√（2+√2）……）))
这个表达式中n个根号，与谢芝灵的区别仅仅在于；它是用WORD工具的长根号写出的，而我使用的是短根号。再根据上述文献中叙述的圆周长的极限理论，得圆周率（等于单位圆的周长）的表达式为：
π=lim(n→∞) An （1）
上述An的表达式,是使用三角函数表达式得到的，,但需要知道：这些正弦函数值都可以由特殊角π/2^n 的正弦值表出.。虽然笔者在这里使用了π表示这个特殊角，但这些特殊角都可以不用这个π的弧度表示，是它们可以被写作180度，90度，45度，22.5度，……。下边还将使用π/（3 •2^n）表示的特殊角，这种形式的特殊角是60度，30度，15度，7.5度,……。应当知道：π=2arcsin1，它是超越代数方程的解，它被叫做超越数。但是，这些特殊角的角的三角函数值都可以只用代数数表出，例如上述√(2--√(2+√2)就是如此，事实上令x=√(2--√(2+√2)，得x是代数方程x^8-4x^6+8x^4-8x^2+2=0 的解，它是代数数。因此，上述An都是代数数，它们都不需要使用超越数中的圆周率π表达，上述到圆周率π的极限表达式（1）与极限值的计算过程中，没有逻辑反复的（使用超越数π计算圆周率π）推导过程。
在每一个正接正2^n+1 边形的每一边上做中垂线，必过圆心，且交圆周上一点，过这个点做圆的切线，得圆外切正2^n+1 边形，记这些外切正2^n+1 边形的的周长为Bn，得Bn=An×1/cos(π/2^（n+1)）= (2^n+1)tgπ/2^（n+1）,特别是B1=4，B2=8（√2-1）≈3.3137。于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞) Bn （2）
上述两个数列中的数都没有有尽位十进小数的好处，但有了收敛于圆周率π的上述两个数列，就可以对误差界序列{1/10^n}中的任意小误差得出满足误差界的不足近似值与过剩近似值，例如当误差界是1时，根据A2与B1，可以得到，3是不足近似值，4是过剩近似值。对误差界0.1，也可以找出不足近似值与过剩近似值。但是，我们还可以找出比上述数列 收敛 较快的数列，事实上先做单位圆内接正六边形，得其周长为3，这就是“周3径1”的古代论述依据，令C1表示单位圆内接正六边形的周长，则有等式：C1=3， 将这个正六边形的每一边二等分得内接正3 ×2^2=12边形,这个正多边形的周长是 C2=12sinπ/3•2^2 =12•√((2-√3)/4) ≈3.10582854123；C3=24sinπ/24; ≈3.13262861；C4=48sinπ/48; ≈3.13935；C5=96sinπ/96≈3.141；依次下去，可得内接正3 ×2^n 边形周长的计算公式，Cn=3•2^n•sinπ/（3•2^n ）,于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞) Cn （3）
记Dn表示外切正3 ×2^n 边形周长，则有 Dn=3 ×2^n ×tgπ/（3•2^n）； 于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞)Dn （4）
其中D1=3 ×2 ×tgπ/3•2 ≈3.46，
D2=3 ×2^2 ×tgπ/（3•2^2）=12×tgπ/12=12 ÷(2+√3) ≈3.215,
D3=3 ×2^3 ×tgπ/3•2^3=24×tgπ/24 ≈3.1597，D4=3 ×2^4 ×tgπ/3•2^4=48×tgπ/48 ≈ 3.1460862151314349710980987942373。
根据Cn Dn两个数列，对于误差界十分之一，得到圆周率π的不足近似值3.1 与过剩近似值3.2， 对于误差界百分之一，得到不足近似值3.14 与过剩近似值3.15 ；依次下去可以对小数点后32位不足近似值3.14159265358979323846264338327950 与过剩近似值3.14159265358979323846264338327951。
第三，现行教科书中的不恰当表达式
从上述公式推导过程，可以看出圆周率的对于误差界序列{1/10^n}的不足与过剩的两个等价的以有尽小数为项的无穷数列：
{En}={3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，…… ，3.14159265358979323846264338327950，……} （5）
{Fn}={3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160，……，3.14159265358979323846264338327951，……} （6）
对于数列（5），依照现行数学教科书中的无尽小数表达式，可以简写为：3.1415926……。但是，现行教科书中的等式 π=3.1415926……，不恰当。不恰当的地方有以下两点：① 无尽小数3.1415926……表达的是超越数（圆周率π）的一个误差越来越小的近似值的无穷数列，这个数列是一个康托儿实数理论中的以有理数为项的基本数列，它的极限才是圆周率，它本身不等于圆周率；②它的实用意义只是圆周率的近似值数列；现行数学理论中已经证明“圆周率的绝对准有理数（包括有尽小数）的表达式是不存在的；这个等式给人一个绝对准小数表达式存在的假象，但实际上是不存在的；从古到今对圆周率只有它的近似值，即使现在使用云技术可以算到两千万亿位，但无穷是无有终了的，永远算不到底的、不可达到的、不能被完成的。它们的这个等式应当改写为：极限表达式π=lim3.1415926……，或3.1415926……o→π，也可以写作全能近似无穷数列表达式：π~3.1415926……， 后者表示一系列近似等式π≈3.14,π≈3.141,π≈3.1415,π≈3.14159,……。对于笔算来讲，在这些近似等式中π≈3.1416 比较好，它虽然只有四位小数，但准确到五位小数； 科学计算器中采用的是有三十一位小数的近似值3.1415926535897932384626433832795。对于圆周率π，应当知道，它的理想表达符号的用处，带来了理论上的三角函数的导数与级数表达式；但在很多情况下，无穷级数和与数列极限值都是不能达到的理想实数，因此在实际应用中它们的近似值常常是必要的。
第四，实数理轮的问题
现行教科书中“称无尽小数为实数”的定义与表达式1/3=0.333……，√2=1.4142……都不恰当，它们的缺点是：第一，它们都没有表达出无尽小数的近似值数列的实用意义；第二，它们没有联系现实数量（例如，线段长度）进行说明（即没有表达出数学理论与现实数量之间的对立统一关系）；第三，它们没有表达出无尽小数与表达现实数量大小的理想实数之间的极限即趋向性的关系，它们忽略了极限值不可达到的、近似值必须使用的理想与近似值之间相互依存性质；第四，它们错误地使用了“无穷是完成了的整体的实无穷观点”；它们忽视了数学分析中“无穷大（∞ ）是 一个非正常实数的无穷依赖于有穷的辩证性质与不确定性质”。 第五，它们过分相信形式逻辑，而忽略了“必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’”的辩证逻辑方法。
第五，实数理轮的应有公理，在笔者的实数理轮中提出了如下的公理。
公理（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数表达式，这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
这条公理的第一部分的命题可以从前边对圆周率的讨论得到说明，根号2与分数1/3的问题也是如此。公理中后边部分的命题是前边命题的逆命题，使用它可以研究数学分析中的重要极限lim{（1+1/n）^n} 与欧拉常数。有了上述定义与公理，就可以顺利地证明柯西收敛原理，接着就可以推出区间套定理、单调有界定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理了（具体证明请参看文献[4]）。与已有的实数理论相比：新实数理论下的这些定理的证明，没有使用“完成了的实无穷观点”，因此就消除了“完成了的实无穷与潜无穷观点”、“排中律能不能应用”的争论问题，而且还可以消除布劳威尔提出的“三分律反例”。此外，需要知道：①实数的四则运算，可以通过收敛数列的四则运算法则进行（具体例子参看文献[4]）。②笔者的这个实数的四则运算使用了极限方法；极限值常常具有不能达到的性质。这种做法，也肯定了计算数学的必要性与基础性。笔者的新实数理论是既有理想的绝对准方法又有近似方法两条腿走路的方法，每一个数字符号都有理想的绝对准表示现实数量大小的意义，也有在测不准、算不准意义下近似表达现实数量大小的意义。
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发表于 2017-5-6 18:06
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