圆周上有20个点，每两点间连一线段，共连10条，各线段间均无交点。有几种连线方法？

天山草

小学奥数题：
圆周上有20个点，每两点间连一线段，共连10条线段，要求任何两条线段之间都没有交点。
请问：共有几种连线方法？



能否用递推公式方法解决问题？就是从圆周上有 2、4、6、8、……个点考虑，导出有 20 个点时的计算方法。

天山草

举几个连线的例子：

天山草

所有的 20 个点都必须找好对象、连成线段结婚哈，不允许有任何点是单身哈。任何两条线都不允许相交，也不允许两条线段有一个公共点哈，那样的话，公共点不就成了小三了？

天山草

2 个点，1 种。
4个 点，2 种。
6 个点，5 种。
8 个点，14 种。
10 个点， 42 种。

天山草

圆周上有 10 个点的情况，共有 42 种不同的连线方法：

天山草

跟兔子级数有关？

重生888

按题意，应在同一个圆里画10条线段吧？每个点起首只有一种画法，20个点只有40种画法！

王守恩

天山草 发表于 2017-5-8 17:35
跟兔子级数有关？

我们围绕固定点1来作统计。
（一），圆周上共有4个点。则1的连接方式有2种可能：12，14。
   1，固定12，剩下2个点有1种可能；
   2，固定14，剩下2个点有1种可能。
   合计1+1=2种连接方式。
（二），圆周上共有6个点。则1的连接方式有3种可能：12，14，16。
   1，固定12，剩下4个点有2种可能；（与（一）连接方式同）
   2，固定14，剩下4个点有1种可能；
   3，固定16，剩下4个点有2种可能。（与（一）连接方式同）
   合计2+1+2=5种连接方式。
（三），圆周上共有8个点。则1的连接方式有4种可能：12，14，16，18。
   1，固定12，剩下6个点有5种可能；（与（二）连接方式同）
   2，固定14，剩下6个点有2种可能；（与（一）连接方式同）
   3，固定16，剩下6个点有2种可能；（与（一）连接方式同）
   4，固定18，剩下6个点有5种可能。（与（二）连接方式同）
   合计5+2+2+5=14种连接方式。
（四），圆周上共有10个点。则1的连接方式有5种可能：12，14，16，18，110。
   1，固定12，剩下8个点有14种可能；  （与（三）连接方式同）
   2，固定14，剩下8个点有5种可能；   （与（二）连接方式同）
   3，固定16，剩下8个点有2×2种可能，（注1）
   4，固定18，剩下8个点有5种可能；   （与（二）连接方式同）
   5，固定110，剩下8个点有14种可能。（与（三）连接方式同）
   合计14+5+4+5+14=42种连接方式。
（五），圆周上共有12个点。则1的连接方式有6种可能：12，14，16，18，110，112。
   1，固定12，剩下10个点有42种可能；  （与（四）连接方式同）
   2，固定14，剩下10个点有14种可能；  （与（三）连接方式同）
   3，固定16，剩下10个点有2×5种可能；（注2）
   4，固定18，剩下10个点有2×5种可能；（注2）
   5，固定110，剩下10个点有14种可能；（与（三）连接方式同）
   6，固定112，剩下10个点有42种可能。（与（四）连接方式同）
   合计42+14+10+10+14+42=132种连接方式。
(六)，圆周上共有14个点。则1的连接方式有7种可能：
   合计132+42+2×14+5×5+2×14+42+132=429种连接方式。
（七）
（八）
(九）合计4862+1430+2×429+5×132+14×42+14×42+5×132+2×429+1430+4862=16796

注1：在这里，我们把10个点的大圆分成点数为4，2，4的3个小圆，对应连接方式是2×2。
注2：在这里，我们把12个点的大圆分成点数为4，2，6的3个小圆，对应连接方式是2×5。
   

天山草

上面第 16  楼王守恩奥数老师的解答非常正确而且优美，不但小朋友们能接受，老年朋友也能接受。

下面再配上图，就更加明白了（内容稍有变动，但原意是一样的）。这个解答也符合递推要求。应该也能给出递推公式或是通项公式吧？

天山草

按照王守恩的方法写一个递推公式：




按上面的公式写一个计算程序：



此程序运行结果：

s(2)=1

s(4)=2

s(6)=5

s(8)=14

s(10)=42

s(12)=132

s(14)=429

s(16)=1430

s(18)=4862

s(20)=16796

s(22)=58786

s(24)=208012

s(26)=742900

s(28)=2674440

s(30)=9694845

s(32)=35357670

s(34)=129644790

s(36)=477638700

s(38)=1767263190

s(40)=6564120420

s(42)=24466267020

s(44)=91482563640

s(46)=343059613650

s(48)=1289904147324

s(50)=4861946401452

s(52)=18367353072152

s(54)=69533550916004

s(56)=263747951750360

s(58)=1002242216651368

s(60)=3814986502092304

s(62)=14544636039226909

s(64)=55534064877048198

s(66)=212336130412243110

s(68)=812944042149730764

s(70)=3116285494907301262

s(72)=11959798385860453492

s(74)=45950804324621742364

s(76)=176733862787006701400

s(78)=680425371729975800390

s(80)=2622127042276492108820

s(82)=10113918591637898134020

s(84)=39044429911904443959240

s(86)=150853479205085351660700

s(88)=583300119592996693088040

s(90)=2257117854077248073253720

s(92)=8740328711533173390046320

s(94)=33868773757191046886429490

s(96)=131327898242169365477991900

s(98)=509552245179617138054608572

s(100)=1978261657756160653623774456