现行教科书中无尽小数的错误概念

jzkyllcjl

余元希 等学者的《初等代数研究》上册75—100页 介绍了现行的无尽小数 的理论。单认真研究一下 这些理论，可以发现它有许多错误。其中最根本的问题是：“ 把无有穷尽、无有终了看作完成了的整体的实无穷”；“把数列的极限值 看作数列可以达到的实数值”。下边指出它的几个具体的主要错误。
第一，在75页 它讲到 “仿照正整数的计数法，通常把  
    a1/10+a2/10^2+……+an/10^n+……     （1）
写成十进小数
     0.a1a2……an……     （2）   
这里 ai …… 就说（2）是无尽小数，否则，叫做有尽小数）” 这个叙述被一些学者认为是无尽小数的定义，例如 版主陆教授与 网友elimqiu 就是如此。它们根据这个定义应用数学分析中的无穷级数的理论证明了无尽小数0.333…… =1/3. 这个证明过程是：首先 把 0.333……写作 无穷级数的 3/10+3/10^2+……+3/10^n+……，然后根据无穷基数的理论，写出这个无穷级数的前n项和无穷数列 0.3，0.33，……0.333^3、……，其中 数列的通项 是有n个3的有尽小数0.333……3，这个通项与 1/3的差的绝对值等于 1/3与 1/10^n的乘积， 当n趋向于无穷大时，这个绝对值的极限是0， 所以 这个无穷数列的极限为1/3.
于是版主与 elimqiu  就认为等式 0.333…… =1/3成立了。 但认真 分析起来， 应当是第一，这个无穷数列 0.3，0.33，……0.333^3、……的极限是1/3; 第二， 无穷级数表达式的无穷项相加 是无法进行的，是无实践意义的；只有有穷项相加 才是可以进行的。
根据这个事实，不能 把 上述（1）式简写（2） 并把它看作定数，应把无尽小数定义为（1）式的前n项和无穷数列。
第二，这个著作中77页的 “定理2 设0<a<b, (a,b)=1，则 a/b 可以化为纯循环小数的宠要 条件是（b,10）=1 " 有问题，应当改写为：可化为以有尽小数为项的康托尔实数理论中的基本数列。 第三，87页的“称十进小数 a0.a1a2……an……   为实数 ”也有问题， 应当该写为; 称 等价的康托尔基本数列的极限为理想实数（简称为实数 ）。
笔者的无尽小数定义是： 定义9（正无尽小数的应有定义）：若无穷数列 {An}满足条件：A0是个非负整数，A1=A0+a1/10, A2=A1+a2/10^2,  A3=A2+a3/10^3, ……，这里 所有 ai 都是小于10的非负整数，且对于任意 i都有正整数 k>i存在，ak不等于0，将这样的无穷数列 简记为：A0.a1a2a3……
并称它为正无尽小数。若无尽小数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重负出现，这样的无尽小数叫做无尽循环小数，否则叫做无尽不循环小数。循环小数中，依次不断地重复出现的数字，叫做循环小数的循环节。为了书写简便，循环部分只写出第一个循环节，并在循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点。这个定义说明：现行教科书中的“无尽小数是个定数”的概念是错误的。有穷的现实的存在着的集合是数学理论的基础,、无穷集合不是基础。研究数学问题需要有可操作、可实行的法则。

红树

红树

红树

请教:jzkyllcjl:网友:命题是错误吗？命题很容易证明吗？

jzkyllcjl

红树网友：你的帖子与我的主贴无关。请以后不要在我的主贴上贴你的问题。我确实老了。
但是，对你的问题，初步 考虑 可用试算法 得到满足条件的不全等三角形。例如；底边长AC=10, 高等于5,面积=25，AB+BC=15，解得一个三角形，再设底边长EG=10, 高等于4,面积=20，EF+FG=14，又解得一个三角形，则两个三角形不全等，但满足你的条件。

elim

老头的主贴跟数学中国也没有什么关系。那是在啼搞不定 0.333.... 的猿声。现行数学的无尽小数是什么，老头是不知道的。不得以到初等数学研究里去”研究“，弄了半天觉着不如他篡改定义方便些，服下狗屎若干，动手批判他冒充的”无尽小数“起来。

jzkyllcjl

任何理论都需要在继续研究中进步。错误的东西不能照抄。 对现行无穷级数理论需要认真研究。
现行数学分析中的级数理论是： 第一步，称无穷项和的表示式
  u1+u2+……+un+……    （1）
为无穷级数的，认真研究这个表达式，可以发现这个表达式表示的 无穷次加法运算，这个无穷次的加法操作具有无法进行的性质；第二步，在认识到这个实施之后，现行级数理论，采取了计算前n项（ 即有限项）和}Sn，接着有限和的序列{Sn}的极限，第三步，当这个极限存在，且为S时， 即当
   limSn=S            (2)
称S为无穷级数的和 ，于是成立等式  S= u1+u2+……+un…… (3)
从现行无穷级数理论或称定义的这三个步骤来看，它是在（2）式成立的条件下，用这个极限值代替无法计算的无穷项求和计算了。 因此：这个理论的错误有两点：第一，这个理论使用了“张冠李戴型的错误逻辑推导方法”；第二，在通常意义下，极限值是数列不能达到的数，但这个理论违背了这个极限的性质。从实际应用上来看，莱布尼慈级数表达式 1-1/3+1/5-1/7+……=π/4，好像给出无理数π的准确值，但实际上这个无理数的准确值是永远算不出来的。这个级数和的表达式是虚假的、无用的； 能用的只能是从足够多有限项和得到足够准近似值。

chaoshikong

老头你的理论很好反驳，

首先，你要你要说的意思是,0.333...无限循环小数 ≠ 1/3

那么，也就是说1/3 ≠ 0.333...无限循环小数

那么，请你证明1/3 ≠ 0.333...无限循环小数给我们看，否则请你以后闭嘴好么……

jzkyllcjl

好！ 欢迎提出意见。 首先需要知道 无尽循环小数0.333……的来历与 无尽的意义。 它是人们为了得到1/3的有尽小数表达式，进行1被3 除的除法运算，这是经过分析得到：永远除不尽的问题。
对于这个除不尽的问题，可以从十进位除法运算性质的分析中得到“对于误差界序列{1/10^n}” 的 不足近似值无穷数列 0.3，0.33，0.333，…… 与过剩近似值无穷数列，0.4，0.34，0.334，……； 这两个数列都是康托尔实数理论中的基本数列，都具有永远写不到底的性质，但可以根据它们提出的规律，找出通项表达式，找出它们的极限都是1/3。
至于 现行教科书中的表达式  0.333……，我认为：它可以被看作前一个康托尔基本数列的简写，这时 这个无尽小数就有了实用意义，它的每一项都是1/3的近似值，而且越来越准确，可以满足任意小误差界的要求，但1/3的绝对准十进小数表达式是不存在的。事实上 无尽小数表达式0.333……中的3 是永远写不到底的事物，它不是定数。当然它就不等于定数1/3 了。无尽是无有穷尽、无有终了，这个无有终了是事实，是应当受到尊重的事实。不尊重这个事实，就解决不了布劳威尔的三分律反例 。
这就是我坚持几十年的回答。
你可以再提意见，但不要像elimqiu那样 骂人、污蔑人。

elim

畜生不如的 jzkyllcjl 自有他对待意见的畜生不如的办是法: 不住啼搞不定 0.333... 的猿声，然后说他人污蔑，骂他. 其实畜生不如是站用篡改定义否定数学的的做法的学名就是畜生不如。