重建自然数理论

yangls728

一则由于文章篇幅太长，二则由于无权限发链接，故无法让同好直接看到文章。有兴趣的同好，可通过百度、雅虎点击“重建自然数理论”，即可看到文章，请批评指正。已有学者支持笔者观点，认为很有道理。杨六省

jzkyllcjl

欢迎你重建 自然数理论。 已有的理论确实有问题

yangls728

jzkyllcjl 发表于 2017-5-15 16:26
欢迎你重建 自然数理论。 已有的理论确实有问题

谢谢，互相支持。

jzkyllcjl

yangls728 发表于 2017-5-18 00:17
谢谢，互相支持。

你可以写出你的重建的要点与基本思路。

elim

思路就是多多吃狗屎，这叫笨蛋所见略同。

谢芝灵

我看了一下，
有几点不认可。
0不是自然数，你是强行定义0为自然数。这种任命与逻辑冲突。
其实自然数公理是存在的，只是人类没发理。

实数 用 大小来判断，自然数用多少来判断。

人类先有实数的形，才有自然数这序。==== 所以，先定义好实数，才有自然数。
因为人类先有元素的形：桃、叶，山，手指，人，狗，，，，再有 形的顺序和多少。才有自然数。

谢芝灵

先有 几何 ==== 形
再有 以形代数 ==== 代数（如实数，实数后才有自然数）。

jzkyllcjl

谢芝灵 发表于 2017-5-18 06:16
我看了一下，
有几点不认可。
0不是自然数，你是强行定义0为自然数。这种任命与逻辑冲突。

我没有看过 楼主的著作。各种意见可以磋商，也要相互包容。从集合元素个数多少上 先讲自然数是可以的，0作为起始自然数 也是可以的。

中国上海市

，，，，，，

yangls728

jzkyllcjl 发表于 2017-5-18 11:52
你可以写出你的重建的要点与基本思路。

我过去一直担心，我的文章属于“异类”，因为它颠覆的是学界主流观点，与名声显赫的大数学家希尔伯特所主张的公理法背道而驰。这样的文章难免遭到非议，说舍弃公理法的观点太不靠谱，竟敢挑战希尔伯特！现在好了，我终于知道，我的思路与数学大师彭加莱和数学三大学派之一的直觉派的代表人物布劳威尔不谋而合！现在我想，不会再有人妄称我的观点太不靠谱，因为我的身后站立的是数学史上超顶级的大人物彭加莱和布莱威尔！

通过引言和文中的“对数学基础问题的一点看法”，可以了解作者的大体思路：
0 引言
数学的相容性问题，可以化归为算术的相容性问题，但解决算术的相容性问题，就不能再用“化归”的方法了。于是，Hilbert在1900年巴黎第二次国际数学家大会上提出的23个未解决的数学问题中，第二个问题就是关于算术公理相容性的直接证明的问题，该问题至今尚未解决。
1931年，Gödel的“不完全性定理”指出了用“元数学”证明算术公理相容性之不可能。但是，基本原理是科学研究的伟大指南。有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”[1]340。显然，A不可能蕴涵¬ A，换一种说法，任何由A到¬ A的推理都不可能是有效推理。但在Gödel不完全性定理的证明中，就有形如由A到¬ A的推理——这里的两个A，如果认为它们是不同的，就不能应用归谬法；如果认为它们是相同的，则会违反有效推理的上述定义，事实上，它会导致循环定义的错误（理由见文[2]第87页），因此，无论哪种情况，Gödel的推理都是无效的，从而，哥德尔不完全性定理的所有推论的证明也都是无效的。
数学的开端应当是什么？是一个直接性的东西，还是一个间接性的东西？ Peano公理是一个间接性的东西，正因为如此，它是否是相容的，就是可质疑的。事实上，算术公理相容性的直接性证明迄今没有得到解决，也不可能得到Hilbert本意上的解决。笔者赞同直觉派的如下观点：Poincare认为，整数不能以公理为基础[3]310，算术是不能由公理基础来判明它是正确的[3]309，与Kronecker一样，Poincare坚持所有的定义和证明（注：笔者在这里只就数学的起始概念而言表示赞同）都必须是构造性的[3]309-310。Brouwer不承认从公理推出结论的这种数学工作[3]313（试想：连最基础的算术公理的相容性问题都无法解决，又怎能保证由算术公理所进行的推理的有效性（即不会应用相互矛盾的条件）以及所得结论的合理性呢？——笔者）。证明，不可能无止境倒退。因此，人们有理由相信，数学的开端应当是一个直接性的存在（注：这种直接性只具有相对的意义，因为所涉及的运算对象毕竟是抽象思维的产物）。Hilbert说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在”[4]52。这就是说，相容性是存在性的必要条件，换一种说法，存在性就意味着相容性。据此，由于本文所提出的两个基本概念（1和“遍历运算”）具有明显的存在性，其所蕴含的所有概念又都是可构造的，故本文给出的自然数算术是合理的；对其所蕴涵的所有性质的揭示，就是不容置疑的严谨证明。
本文的目的是：舍弃公理法，重建自然数算术理论，并对算术的相容性给出直接性证明。

……
1.3 对数学基础问题的一点看法
要确认算术公理（例如，Peano公理）的相容性，就得先确认其中的每个概念的合理性，而这又依赖于这些概念的存在性（可构造性）。但算术公理中的每个概念都属于被隐定义，它们是否具有存在性，并非是不证自明的，因此，就需要更为原始的概念来确认算术公理中的概念的合理性，但这与算术公理是最初始的东西相悖，因而，试图寻找算术公理相容性的直接性证明，就是一件徒劳的事，也就是说，Hilbert第二问题是不可解的，它是一个伪问题。
从十九世纪末二十世纪初逐渐拉开序幕的关于数学基础问题的大论战，最终不了了之。原因是，无论是形式派、逻辑派，还是直观派，它们都未能为数学提供一个合理的基础，事实上，他们也不可能为数学提供一个合理的基础，笔者的不同于以往的理由是：形式派无法解决数学相容性的证明问题，因为Hilbert的第二问题，本身就是一个伪问题；本文所揭示的算术的初始概念，当然也是数学的初始概念（它们是诸多的“1”和对其所实施的遍历运算），并不为逻辑学所蕴涵，也就是说，不涉及具体的数学概念，逻辑学照样可以建立起来，因此，Russell、Whitehead与Frege的想法，即数学可以从逻辑推导出来，因而是逻辑的一种展延（extension）[3]302，是没有意义的；至于直观派主张整数导源于时间的直观这种思想[3]311，同样是站不住脚的，因为时间的直观对于整数概念而言，完全是个外在的东西。
综上所述，笔者认为，应用公理法刻画数学的基础是不合理的，也即把数学的基础设定为一个间接性的东西，其本身就是矛盾的：间接性的东西，就是可质疑的，需要进一步说明的，但这又与开端概念相悖。作为数学的基础（概念），它的存在性应该是不证自明的，从而其相容性也就不是问题了，因为不满足相容性的东西不可能存在。至于这个基础所蕴涵的算术的所有性质（包括相容性），只需我们明白的揭示出来，这就是所谓的证明。存在的就是合理的，就是真的，所以我们不能同意Russell所说的——数学是这样一门科学，在其中我们永远不会知道我们所讲的是不是真的[3]307。客观的存在性，是验证数学真理的一面镜子，尤其在基础问题上，情况更为明显。