【小题】海伦三角形(希腊)

尚九天

:em05: 求：三边长是三个连续的整数，面积也是整数 的 三角形。
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:em03: 这样的三角形，叫作“海伦三角形”。

波浪

海伦三角形的一个哥们问题是：
李明波三角形之谜
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2047&show=125f`Q3O

wangyangkee

1，这是一道经过九天点染的初中题目；
2，根据三角形面积，二分之一的底高之积，或者二分之一的两边及其夹角正弦之积，面积为整数；显然，直角三角形；
3，本论坛上，已有证明：整数的直角三角形三边比必3:4:5；
4，三个连续的整数，必3,4,5，，，，

尚九天

下面引用由wangyangkee在 2011/06/06 07:02am 发表的内容：
:em05: 这是一道经过九天点染的初生题目

    :em05: 所谓“点石成金”者，是也！ 大大的“是也”！

wangyangkee

下面引用由尚九天在 2011/06/06 09:16am 发表的内容：
     所谓“点石成金”者，是也！ 大大的“是也”！

九天，点染吧，，，点染之后，慰劳九天老太，，，节日愉快，，，

尚九天

下面引用由wangyangkee在 2011/06/06 09:37am 发表的内容：
下面引用由尚九天在 2011/06/06 09:16am 发表的内容：
所谓“点石成金”者，是也！ 大大的“是也”！


                       :em05:  此主题相关图片如下：


九天，点染吧，，，点染之后，慰劳九天老太，，，节日愉快，，，

nnnnn                      :em05: 站在此山顶，独眼可望羊。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/06 03:48pm 第 5 次编辑]

下面引用由尚九天在 2011/06/06 02:56am 发表的内容：
求：三边长是三个连续的整数，面积也是整数 的 三角形。
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  这样的三角形，叫作“海伦三角形”。

题  求：三边长是三个连续的整数，面积也是整数的三角形。

答  这样的三角形有：
（1）三角形三边长为 3 ，4 ，5 ，三角形面积为 6 。
（2）三角形三边长为 13 ，14 ，15 ，三角形面积为 84 。
（3）三角形三边长为 51 ，52 ，53 ，三角形面积为 1170 。
（4）三角形三边长为 193 ，194 ，195 ，三角形面积为 16296 。
    ……
  一般地，可以取 a = (2+√3)^n + (2-√3)^n ，n = 1,2,3,… 。
  以连续整数 a-1 ，a , a+1 为三边的三角形，面积就是一个整数，等于
            ［(2+√3)^(2n)-(2-√3)^(2n)］√3/4 。

  也可以用下列递推的方法生成这种三角形：
  a(1) = 4 ，三边长为 3 ，4 ，5 。
  a(2) = 14 ，三边长为 13 ，14 ，15 。
  a(3) = 4a(2)-a(1) = 4×14 - 4 = 52 ，三边长为 51 ，52 ，53 。
  a(4) = 4a(3)-a(2) = 4×52 - 14 = 194 ，三边长为 193 ，194 ，195 。
  a(5) = 4a(4)-a(3) = 4×194 - 52 = 724 ，三边长为 723 ，724 ，725 。
  a(6) = 4a(5)-a(4) = 4×724 - 194 = 2702 ，三边长为 2701 ，2702 ，2703 。
     ……
  a(n) = 4a(n-1)-a(n-2) ，三边长为 a(n)-1 ，a(n) ，a(n)+1 ，n = 3,4,5,… 。

尚九天

下面引用由luyuanhong在 2011/06/06 02:50pm 发表的内容：
题  求：三边长是三个连续的整数，面积也是整数的三角形。答  这样的三角形有：
（1）三角形三边长为 3 ，4 ，5 ，三角形面积为 6 。
（2）三角形三边长为 13 ，14 ，15 ，三角形面积为 84 。
（3）三角形三边长 ...

:em05: 谢谢陆教授！

luyuanhong

这种三角形的面积也有递推关系：
边长为 3，4，5，面积为 s(1) = 6 。
边长为 13，14，15，面积为 s(2) = 84 。
边长为 51，52，53，面积为 s(3) = 14s(2)-s(1) = 14×84-6 = 1170 。
边长为 193，194，195，面积为 s(4) = 14s(3)-s(2) = 14×1170-84 = 16296 。
边长为 723，724，725，面积为 s(5) = 14s(4)-s(3) = 14×16296-1170 = 226974 。
    ……

边长为 a(n)-1，a(n)，a(n)+1，面积为 s(n) = 14s(n-1)-s(n-2) ，n = 3,4,5,… 。

尚九天

下面引用由luyuanhong在 2011/06/06 05:31pm 发表的内容：
:em05: 这种三角形的面积也有递推关系：
边长为 3，4，5，面积为 s(1) = 6 。
边长为 13，14，15，面积为 s(2) = 84 。
边长为 51，52，53，面积为 s(3) = 14s(2)-s(1) = 14×84-6 = 1170 。
...

    :em05: 再谢陆教授！
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    :em05: 望羊客先生：老尚的的确确“点石成金”矣！