纠结了半天，菜鸟请教老师一个，关于收集中奖徽章的数学期望问题？

soulzero

有个很菜鸟的问题我没弄明白这两种算法为什么不同，哪种是对的？
第一种算法通式：集齐徽章需要购买物品数量
=1/(a+b+c+……+n)*(n/n+n/(n-1)+n/(n-2)……+n/1)
第二种算法通式：集齐徽章需要购买物品数量
=1/(a+b+c+……+n)+(1/a*a/(a+b+c+……+n)+1/b*b/(a+b+c+……+n)+1/c*c/(a+b+c+……+n)+……+1/n*n/(a+b+c+……+n))
具体例子：
购买物品收集徽章兑换奖品，买东西得到两种徽章概率分别为A 15% B 20%（一次只可能获得一种徽章），也就是有65%的几率没有徽章，求一个人
集齐2种徽章需要购买的物品数量的数学期望
第一种算法
购物数=1/（15%+20%）*（2/2+2/1）=300/35
第二种算法：
购物数=1/（15%+20%）+（1/15%*3/7+1/20%*4/7）=300/35
——这两种算法结果都相同
当需要集齐三种徽章时，A 15% B 20% C 30%，求购买物品数量的数学期望
第一种算法
购物数=1/（15%+20%+30%）*（3/3+3/2+3/1）=110/13
第二种算法：
购物数=1/（15%+20%+30%）+（1/15%*3/13+1/20%*4/13+1/30%*6/13）=80/13
——这两种算法结果不同了
当三种徽章都为20%获得概率时，结果也不同
A 20% B 20% C 20%
第一种算法：
购物数=1/（20%+20%+20%）*（3/3+3/2+3/1）=55/6
第二种算法：
购物数=1/（20%+20%+20%）+（1/20%*1/3+1/20%*1/3+1/20%*1/3）=20/3
——这种情况下，这两种算法结果也不同

drc2000

最好是先完整叙述原题.
不然难以思考...

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/07 11:15am 第 2 次编辑]

下面引用由soulzero在 2011/06/07 00:11am 发表的内容：
有个很菜鸟的问题我没弄明白这两种算法为什么不同，哪种是对的？
第一种算法通式：集齐徽章需要购买物品数量
=1/(a+b+c+……+n)*(n/n+n/(n-1)+n/(n-2)……+n/1)
第二种算法通式：集齐徽章需要购买物品数量
...

此题的正确解答如下：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/09 00:20am 第 2 次编辑]

luyuanhong

在 a b c d 四种徽章的情况下，需要购买物品的数量的数学期望值是
1/a+1/b+1/c+1/d-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(a+d)-1/(b+c)-1/(b+d)-1/(c+d)
  +1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+c+d)+1/(b+c+d)-1/(a+b+c+d) 。