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无穷级数理论实数理论的中不恰当地方与改革
一 现行无穷级数理论中的不恰当地方与必要的改革
任何理论都需要在继续研究中进步。错误的东西不能照抄。 对现行无穷级数理论需要认真研究。现行数学分析中的级数理论是： 第一步，称无穷项和的表示式
u1+u2+……+un+…… （1）
为无穷级数的，认真研究这个表达式，可以发现这个表达式表示的 无穷次加法运算，这个无穷次的加法操作具有无法进行的性质；第二步，在认识到这个实施之后，现行级数理论，采取了计算前n项（ 即有限项）和}Sn，接着有限和的序列{Sn}的极限，第三步，当这个极限存在，且为S时， 即当 limSn=S (2)
成立时称S为无穷级数的和 ，于是现行级数理论中将(2)式改写等式
S= u1+u2+……+un…… (3)
从现行无穷级数理论或称定义的这三个步骤来看，它的(3)式是在（2）式成立的条件下，用这个极限值代替无法计算的无穷项求和计算了。 因此：这个理论的错误有两点：第一，limSn表达的是个趋向性极限值,永远它达不到无限项的和，这个理论使用的是：limSn 替换 u1+u2+……+un+……的 “张冠李戴型的错误逻辑推导方法”；第二，在通常意义下，极限值是数列不能达到的数，但这个理论违背了这个极限的性质。
从实际应用上来看，在这级数理论下得到了：莱布尼慈级数表达式
1-1/3+1/5-1/7+……=π/4 （4）
这个给人一个假象：好像给出无理数π的准确值，但实际上这个无理数的准确值是永远算不出来的。这个级数和的表达式是虚假的、无用的，形式主义的。 能用的只能是从足够多有限项和得到足够准近似值。即必须将（4）改写为极限性等式，这个极限性等式可以简写为：
1-1/3+1/5-1/7+……→π/4 （5）
综上所述，现行无穷级数理论中的表达式（3）应当改写为：当 limSn=S 成立时，可以把这个极限性等式简写为
u1+u2+……+un……→S （6）
二 现行实数理轮的问题与改革简述
余元希《初等代数研究》说到：现行实数理轮有维尔斯特拉斯、戴德金、康托儿三种。现在需要使用辩证唯物主义研究方法对它们进行分析研究。这个方法要求我们不仅要使用形式逻辑法则与规律，而且要使用辩证逻辑。“辩证逻辑则要求我们继续深入。要真正认识事物，就必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’。”具体来讲,这个方法下的实数理轮不仅要有严密的逻辑依据，还必须是有实践依据的，具有应用性质、应用方法的实数理轮. 这种方法还要求这个理论在继续的实践中不断补充、修改完善。
余元希等学着《初等代数研究》中介绍的实数理轮，可以说是威尔斯特拉斯的，在余元希等学者的这个著作中，首先在有理数的第三章中把满足条件：ai(i=1,2,……，n，……)是小于10的非负整数，且对任意i都有大于i的正整数k存在，使ak不等于0，的无穷级数表达式： a1/10 +a2/10^2+……+ an/10^n+…… （7）
写成十进小数 0.a1a2……an…… （8）
并称（8）式为无尽小数。然后在实数理轮的第四章中“称 十进小数
α=a0.a1a2……an…… （9）
为实数。 ”这个实数理轮的不恰当的地方，首先是：使用了级数理论中的上述不恰当等式（3），根据上述理论中的正确表达式（2），应当把无尽小数表达式（9）的右端看作无穷级数的前n项和Sn的序列
a0，a0.a1，a0.a1a2，……，a0.a1a2……an，…… （10）
而将（9）式右端的无尽小数表达式看作这个无穷数列的简写。这种数列就是康托儿实数理轮中叙述的以有进小数为项的基本数列。所以，现行三种实数理轮，比较起来，康托儿从他的基本数列出发的做法比较好，但他称每一个基本数列为实数的代表的做法不恰当（因为无穷数列是无有终了、无有最后的，它不能作为定数），为此，经过反复研究笔者提出了如下的的实数定义与公理。
定义：（理想实数定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数表达的理想实数都叫无理数。
公理（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数表达式，这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
有了这个定义，我们就可以说：分数1/3表示了一个现实线段的长度，它是一个叫做有理数的理想实数，但这个理想实数，没有有尽小数那种与度量单位（例如米尺）之间明确关系，所以需要找出它与十进小数之间的关系，这时需要进行1被3除法运算，但这时遇到永远除不尽的问题，因此只能从除法运算的过程中得到与误差界序列{1/10^n}对应的不足近似值无穷数列0.3，0.33，0.333，……与过剩近似值无穷数列0.4，0.34，0.334，……，这两个无穷数列，都是康托儿实数理轮中基本数列，，由于它们的通项an与1/3的差的绝对值小于误差界1/10^n,这个误差界序列的极限是0，所以这两个近似值数列的极限都是1/3；其中前一个近似值数列可以简写为无尽小数0.333……，但现行教科书中的等式1/3=0.333……不成立；我们只能从它代表的近似值数列中寻找1/3足够准的近似值。对无理数√2也是如此，它是一个代表线段长度的理想实数，这个实数与与度量单位（例如米尺）之间关系不明确，需要寻找它的有尽小数表达式，需要进行开方计算，但遇到永远开不尽的问题，只能得到与误差界序列{1/10^n}对应的不足近似值无穷数列1，1.4，1.41，1.414，……与过剩近似值无穷数列2，1.5，1.42，1.415，……，这两个无穷数列，都是康托儿实数理轮中基本数列，，由于它们的通项an与√2的差的绝对值小于误差界1/10^n,这个误差界序列的极限是0，所以这两个近似值数列的极限都是√2；其中前一个近似值数列可以简写为无尽小数1.41421356237……，但是，现行教科书中的等式：√2=1.41421356237……不成立；我们只能从它代表的近似值数列中寻找√2足够准的近似值。
对直径为1圆周长，它也是一个理想实数，这个实数就是圆周率π，现行数学理论已经知道它不能表示为十进小数，也不能表示为代数数。但可以寻找它的近似十进小数表达式。我国古代就知道用近似等于圆周长的理论，从而得出“周三径一”的论述，这就是一个初步的具有可用性质的近似圆周长理论，后来刘徽提出“咯吱弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无失矣”的论述，并使用这个割圆术得到3.14，3.1416可用的数据理论； 祖冲之的π值在3.1415936 与3.1415927之间的研究也是可用的近似理论与数据，近代使用电子计算机得到的50万位小数精确值、2000万亿位小数的近似数据都是圆周长的近似数据。在理论上，马忠林译[苏] 别列标尔金著《初等几何学》上卷140页讲道“圆周的长度是内接和外切彼此对应正多边形当其边数无限地倍增时其周长的共同极限”是使用近代极限理论的正确的严谨的圆周长理论。由于60度角的正弦余弦可用代数数表出，根据半角的三角函数公式，对任意自然数n，这个角的任意2^n 等分厚的角的三角函数值，也可用代数数表出。 所以 对任意自然数n，做出单位圆的内接外切正3 ×2^n，可以得到：内接正3 ×2^n 边形周长的计算公式，Cn=3•2^n•sinπ/（3•2^n ）（这里的角π/（3•2^n）中的π表示180度，在这里它暂时不是超越数）,当n=1,则有等式：C1=3，当 n=2将这个正六边形的每一边二等分得内接正3 ×2^2=12边形,这个正多边形的周长是 C2=12sinπ/3•2^2 =12•√((2-√3)/4) ≈3.10582854123；于是可以得到单位圆周长的一个数列极限表达式
π=lim(n→∞) Cn （11）
记Dn表示外切正3 ×2^n 边形周长，则有 Dn=3 ×2^n ×tgπ/（3•2^n）； 于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞)Dn （12）
根据内接与外切正多边形周长分别小于大于圆周长的性质，可知Cn 、Dn 分别小于大于圆周率，而且根据它俩有共同极限的性质，可知对任意小误差界 都可以在数列Cn 中找到不足近似值，在数列Dn中找到过剩近似值， 这样就得到圆周率π这个超越数不足近似值与过剩近似值的如下的两个等价的以有尽小数为项的康托儿基本数列：
{En}={3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，…… ，3.14159265358979323846264338327950，……} {Fn}={3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160，……，3.14159265358979323846264338327951，……}
这两个数列的极限都是圆周率π这个超越数。前一个无穷数列可以简写为无尽小数3.1415936……，但无尽小数不是定数而是康托儿实数理轮中的基本数列，现行教科书中的等式 π=3.1415926……不成立。成立的必须是极限性等式。在承认这个极限值不能达到的事实下，布劳维尔（Brouwer）的三分律反例就被消除了。
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发表于 2017-5-28 16:21
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