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庄子曰：一尺之棰,日取其半,万世不竭. 《庄子 天下篇》
我们先来看看这句话到底该如何解读，这句话对不对。
首先，如果把一尺换成半尺, 或者“巴掌长”之类的模糊长度，作为新命题是跟原命题等价的. 也就是说, 庄子给出的是一个原理，不是一个特称判断.
同理, 如果把“半”字换成序列{a(n)}, 0<a(n)<1, 庄子弄棰命题可以表成有限乘积 a(0)a(1)....a(n) > 0. 其中正数 a(0) 是“棰”的初始长度。
其次, “日取....万世”无论是形容多少次，总是有限次, 并不是无穷大.
再次, 庄子的论说没有局限于实践，是超越实践的: 他是智者，却也与普通人一样就这么一世. “万世”之类的话不可能出于实际的作为和历史的记录. 按照我们今天的科学认识，物体的反复分割的可行性极其有限, 并且分到量子尺度，“取其半”就成问题了. 这些当然是钻牛角尖的话，我要指出的是，庄子的论题预设是“潜”无限可分的数系(注意“潜”无限可分是指任意有限可分, 不是指“分割无穷次”. 事实上“分割无穷次”没有可操作性)，而不是现实的度量世界. 虽然庄子未必明确意识到这点.
小结：庄子弄棰至少在潜无限可分的数系中是对的, 在现实世界中是错的。庄子弄棰是关于任意有限分割的，但没有论及无穷操作和极限，与无穷操作和极限无关。
写道这里我想起了门外汉网友. 他只看好有限操作和“潜”无限可分的世界.
人类在接受“潜”无限可分的(超越实践的)数学世界这点上可以说没有分歧. 在这个意义上, 庄子弄棰论题是被普遍接受的. 然而庄子弄棰说白了不过是一个十分浅显平庸的论题。无法解决大量的数学问题。
以曲线长度为例, 直觉告诉人们曲线的长度应该是其“逼近折线的长度序列的极限”. “逼近折线”定义为曲线上有限个点按曲线确定的相邻关系连成的折线. 显然这样的折线无穷多，有无穷多方式可以筛选构成折线序列, 使得折线的模(其折线段长度的最大值)趋于0. 这样的折线列对应的折线长度列的极限如果存在，被直觉地定义为曲线的长度.
显然上述曲线长度的“定义”至少是不够明确的。序列是什么？极限到底是什么意思。曲线长度有没有可操作的算法？ 如果一般曲线没有有限可操作的算法，是否说明一般曲线的长度不存在？
关于平面上有界区域的面积问题，空间体积问题等等, 我们都不得不诉诸于极限的观念.
极限观念的起源和争议，至少可以追溯到古希腊. 从当时的穷竭法，阿基米德对其的运用和发挥，芝诺的一系列著名佯谬就可以看出. 显然这些争议一致继续到现在，而且愈演愈烈，最后归结为什么是数学，什么是数学真理，以及数学方法论之争. 下次接着谈.
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发表于 2017-6-3 07:56
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