s = 1 时的欧拉乘积公式

天山草

qingjiao

你这个公式不成立。s=1时依然是原来的形式，只不过等式两端由收敛变成发散，但两个发散也是可以相等的。
Mertens公式不是解决s=1不成立的问题，而是解决将无限项变成有限项的问题，因为无限项很难运用到实际中。

qingjiao

参考这个帖子：说说欧拉连乘积
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=1664

天山草

[quote]下面引用由qingjiao在 2011/06/14 01:01pm 发表的内容：
你这个公式不成立。s=1时依然是原来的形式，只不过等式两端由收敛变成发散，但两个发散也是可以相等的。
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现在等式左右 “发散”的情况相等吗？ 或者说， 若把右边发散的无穷乘积移到左边去，左边两个发散的东西相除，有极限吗？极限等于右边的 e^(-γ) 吗？
另外， 这个证明过程，是哪个地方错了，请先生指明。
噢，对了，您那个帖子我看了，写得很好，已收藏。

qingjiao

天山草先生请注意：欧拉乘积式和梅腾斯公式虽然有些相似，但却是两个实质很不同的东西。你把这两个东西混淆了。
欧拉乘积式的p对应所有素数，n对应所有自然数；梅腾斯公式的p<=n。不管n是否趋向无穷大，梅特斯公式的p都是有限项，只是所有素数的一部份，因而它所反演的自然数的倒数也只是一部分。
因此如果你的式子的p取全部素数，n取全部自然数，那么s=1时就没有e^(-γ)这样的系数，完全和s>1时的形式一样；如果你的式子取p<=n，那么s=1时就有e^(-γ)这样的系数，s>1或s<1时两边也不会相等。

天山草

待我先算一算下式左边有没有极限，并且是否收敛到右边的值。

qingjiao

下面引用由天山草在 2011/06/14 06:38pm 发表的内容：
待我先算一算下式左边有没有极限，并且是否收敛到右边的值。

算算可以，但不要又弄混了无穷项和有限项，呵呵~~

天山草

在此先谢谢热心的 qingjiao 大侠啦。我现在这计算机里需要从头装软件，装素数表，唉，要重打锣鼓重开张哩。希望十天内有结果吧。

大傻8888888

我在“谈谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”和这个问题有关，复制如下：
连乘积问题是很多网友的共识，可是也受到了部分网友的质疑，其中qingjiao先生认为梅滕斯定理当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/e^r*lnx,（其中p≤x）。并用这个定理否定当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x）。其实我认为梅滕斯定理和连乘积并不矛盾，这是因为其中p的取值范围不同因而得出了不同的结果。梅滕斯定理的证明过程由于我的水平有限，暂时还弄不懂，但是其中p≤x这个条件以及这个定理的成立是没有疑问的。同样luyuanhong教授根据欧拉的证明，得出当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x），他的证明一般网友都可以看懂，虽然他用了不少“大致上可以认为有”，但是我认为这是他的谦虚，其实证明是很精彩的，甚至可以称之为陆氏定理。根据陆氏定理很容易得出x以内的素数个数π﹙x﹚=x∏﹙1-1/p﹚=x/lnx即素数定理。
   可是有些网友并没有注意到p≤x和p≤√x的不同，并且随意改变条件，得出了错误的结论。比如liudan先生把梅滕斯定理中的条件p≤x换成了p≤√x，得出了当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=2/e^r*lnx，（其中p≤√x）的错误结论。同样LLZ2008先生把欧拉证明里的条件p≤√x认为是p≤x，得出了当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=2*lnx,（其中p≤√x）的错误结论。当然我说他们两个是错误的结论是我个人的看法，不一定正确。仅供参考。
我在“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”也复制如下：
1.∏(1-1/p)=0 ，p→∞。
2.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞。
3.∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
上面三个连乘积得出的结果截然不同，这是因为它们后面条件不同并用不同的方法证明的，所以不可能由其中一个推导出另一个。第一个连乘积王元在“谈谈素数”用反证法证明成立。第二个连乘积是梅滕斯定理。第三个是luyuanhong教授的证明。因为luyuanhong教授的证明还没有被大家公认，luyuanhong教授自己也用了两个“大致可以认为”，但是我认为luyuanhong教授的证明是应该成立的，这是因为用概率的方法和比例的方法可以得出同样的结论。

[补充该文...]




n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]=
n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)][1/2*3/4*5/6......(p-2）/（p-1)]
因为[1/2*3/4*5/6......(p-2)/(p-1)]=[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]*{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}
而{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}等于常数q=0.6601......

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/06/14 11:45pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2011/06/14 08:50pm 发表的内容：
在此先谢谢热心的 qingjiao 大侠啦。我现在这计算机里需要从头装软件，装素数表，唉，要重打锣鼓重开张哩。希望十天内有结果吧。

不用客气，不过再补充一下，所有无限项都是不可验算的，能验算的只有有限项。所以你只能验算出梅腾斯公式是正确的，而欧拉公式只能靠理论推导。
在实分析的范围内，欧拉公式的确没有太大用处，还不如梅腾斯公式好用。但复分析就不同了。由于欧拉公式两边是等号，没有不确定的误差项，这样就可以采用许多分析的方法。估计黎曼当初提出他的猜想也是这样的思路（不过历史是黎曼猜想在前，梅腾斯公式在后）。