[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

傻瓜学者

luyuanhong

你提出的这个命题很有意思，可以作为 Caylay 定理的补充。它确实是成立的，证明如下：

傻瓜学者

[这个贴子最后由傻瓜学者在 2011/06/20 09:44am 第 2 次编辑]

谢谢陆老师。
学生再请教您：
若已知f(A)=0，如果事先不知道某数a是不是A的特征值，紧紧依靠f(a)=0就说a是A的特征值。可不可以？
我之前请教您时（也是我做题过程中）发现了反例，就是A^2=A且A=E的情况。
但我现在不能确定的是：如果a不满足f(a)=0，我能不能就说a一定不是A的特征值呢？

傻瓜学者

我又仔细地看了一下您帮我做的证明。
您说“若f(A)=0，若a是A的特征值，则f(a)必为0。”
从逻辑上讲，您的结论的逆否命题：“若f(a)不等于0，则a必不是A的特征值。”
我在做过的所有习题中，确实没有发现过反例。
但我在思考这道例题：
若三阶矩阵A满足：A^2+2A-3E=0，且tr(A)=-6，求A的特征值。
则答案是1,-3,-4。
但-4不满足a^2+2a-3=0。
这题是我编的，您看这题是错的么？

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2011/06/20 09:53am 发表的内容：
我又仔细地看了一下您帮我做的证明。
您说“若f(A)=0，若a是A的特征值，则f(a)必为0。”
从逻辑上讲，您的结论的逆否命题：“若f(a)不等于0，则a必不是A的特征值。”
我在做过的所有习题中，确实没有发现过反例　...

在第 2 楼中，我们证明了这样一个命题：
如果 λ 是 A 的特征值，多项式 f(A)＝O ，则必有 f(λ)＝0 。
由此马上就可以推出：
如果多项式 f(A)＝O ，但 f(λ)≠0 ，则 λ 一定不是 A 的特征值。
因为，假设 λ 是 A 的特征值，由第 2 楼的命题可知，这时必有 f(λ)＝0 。
但实际上 f(λ)≠0 ，这就发生矛盾，可见假设不成立，λ 不是 A 的特征值。
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例题“若三阶矩阵 A 满足：A^2+2A-3E=0，且 tr(A)=-6 ，求 A 的特征值。”本身有错。
我们可以证明：若三阶矩阵 A 满足：A^2+2A-3E=0 ，则不可能有 tr(A)=-6 。

傻瓜学者

感谢陆老师！
您的命题我已经牢牢记住了。
关于A^2+2A-3E=0，求A的特征值那道题，因为只能算出-3和1，我就一直不甘心，为什么第三个特征之不能是其它的数。所以还曾考虑过f(A)=0这个多项式f是不是必须要n次，才能真正确定A所有的特征值，其中n是A的阶数。
我中午休息时突然想到，A^2+2A-3E=0的特征值绝对不可能-3和1之外的！
因为r(A+3E)+r(A-E)=n（这容易证明）
所以就证明了A已经有n个线性无关的特征向量。所以不可能再有第三个特征值了。
换句话说，无论A是几阶，它的n个特征值必在1和-3之间。