自然数与无穷数列的v概念

jzkyllcjl

关于自然数，它本来是古代人民研究一堆苹果、一篮子鸡蛋个数时提出的表达符号，但在康托儿提出无穷集合理论之后，余元希等学者的《初等代数研究》中使用现行的不成熟的集合论为基础叙述它了。这种用空集存在、并集合公理及一一对应法则给出的自然数定义有缺点。第一，将这种度量集合元素多少的一一对应法则推广到无穷集合之后造成了自然数集合与有理数集合元素基数相等的违背欧几里得的“全体大于部分”的公理；第二，造成了无法解决的连续统假设的大难题。笔者同意莫绍揆先生的“迄今各家各派的集合论，凡是能推出数学的都不能证明其无矛盾性，凡是能证明其不矛盾的，都不能推出数学”[5]。为此，笔者首先提出如下的正常集合及其元素个数的概念。
定义3，集合是由它的元素（能够确定的、区分的事物）构成的总体。例如：一个手的手指头的总体构成一个集合；一堆苹果是以每个苹果为元素的集合；英语字母的总体构成一个以字母为元素的集合。
定义4， 满足条件：1) 集合本身不能作为自己组成元素的；2）能将其组成元素一一列举出来、且能列举完毕的集合叫做正常集合。否则叫做非正常集合。
定义5 ， 正常集合的 “元素个数”是忽略各个元素本质及其大小差别的一个多少性概念。
定义6， 人们提出的，正常集合的元素个数（即多少）的表达符号叫做自然数。正常集合的元素个数就是一个现实数量多少的表达符号。
上述讨论说明：自然数是在近似研究方法下产生的，而且也只有在近似方法下才能应用于生产实践。因此，对自然数，给出其实践意义与应用条件是十分必要的。
设自然数A、B、C表示现实数量的大小时，其误差界分别是 、 和 ，则只有当这些误差界满足条件：   时，才可以进行加法运算；否则，A+B=C的算术运算结果，就不能满足生产实际问题的需要。对线段长度来讲，自然数既可以绝对准地表示线段的长度，也可以在满足某一误差界的条件下、近似地表示线段的长度。对于前者，自然数算术运算的结果是成立的；而对于后者，自然数算术运算的结果可以是不符合实践、不能应用的（例如：在测量线段长度时，由于线段长度的测不准性，就会出现把481,01毫米,作为481毫米的近似情况,，这时100个 481的加法运算结果就有了1毫米的误差）。根据测不准原则，我们又无法判定实际工作中出现的是前一种情况，所以笔者称能绝对准地表示线段长度的、且算术运算结果能成立的自然数为理想自然数（理想实数中的一种)。分数与有尽位十进小数也是如此，笔者称能绝对准地表示线段长度的、且分数与有尽位十进小数运算法则及其结果能成立的分数与有尽位十进小数为理想的分数与有尽位十进小数 （理想实数中的一种)。
在叙述自然数皮亚诺公理体系之前，也不能像文献[6]那样，事先承认有一种无穷集合的存在。而应当在古代劳动人民已经建立的十进位自然数记数法则的基础之上去阐述所需要的自然数公理。
定义7 (自然数的标准数列)  根据阿拉伯人提出的自然数记数法则，将自然数按照“从小到大”的顺序排列，得到的无穷数列
0，1，2，3，…， 11，…，n，n+1，…           (1)
叫做自然数的标准无穷数列。
关于这个无穷数列的提出和认识，需要知道：一方面可以提出：“在时间无限延续的条件下，自然数可以无限延续下去的假设”（这个假设也是许多学者同意的，所以也可以叫做公设），但另一方面又需要知道“在任何有限时间内这个无限延续的工作都不能被完成，能够被完成自然数只能是有限个自然数”；这两个方面并不矛盾，因为前者是在时间无限的条件下提出的，后者是对有限时间讲的。这两个认识，就是：“既要有发展的理想，又要尊重现实”的对立统一观点。由于，自然数标准无穷数列具有永远写不到底的性质，表达式（1）中的省略号不仅有省略的意义，它还有永远写不完的意义。
现行教科书中无穷数列被定义为“自然数集合上的函数”，由于自然数集合的定义依赖于无穷序列（参看下文），所以不能把无穷数列看作自然数集合上的函数；我们可以在自然数标准无穷数列（1）上定义其它无穷数列。例如：按照一一对应法则 f(n)=10n ，可以得到无穷数列{0，10，20，30，……，10n，……}；按照一一对应法则f(n)=1/10^n  可以得到无穷数列，{1/10^n }，后者可以作为研究现实数量大小时的误差界序列。根据这个方法与现行数学分析，还可以研究自然数基础上的无穷大量与无穷小量。可以提出如下的定义与公理。