有一放射性元素，质量为 10 克，两年后质量为 4 克，求五年后质量为几克

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

设半衰期为T年
2/T=ln(10/4)/ln2(1)

则T=2ln2/(ln5-ln2)
求m=10*2^(-5/T)

luyuanhong

题  有一放射性元素，质量为 10 克，两年后质量为 4 克，求：五年后质量为几克？

解  设这种放射性元素每一年衰减的比例为 q 。

    若初始质量为 10 克，则 t 年后的质量就是 M(t) = 10q^t 。

    现在已知 2 年后质量为 4 克，即有

       M(2) = 10q^2 = 4 ，q^2 = 4/10 = 2/5 ，即 q =√(2/5) = √10/5 。

    所以，5 年后的质量就是

       M(5) = 10q^5 = 10×(√10/5)^5 = 8√10/25 = 1.01192885… （克）。

谢芝灵

解：由惯性原理，放射物放在真空中是不会放射的。 因为物质在真空环境中是匀速运动。匀速则各粒子距离恒定，得物质不会有粒子脱离。 只能是非真空中，有外力作用，才有外层粒子离开。
设 该物的体积 粒子表面积层次排列如下： 1+（1+x）+（1+2x)+...+[1+(n-1)x]+(1+xn)
即先脱离表层粒子个数为(1+xn)个，再第二层粒子为[1+(n-1)x]
得 放射物的质量为 1+（1+x）+（1+2x)+...+[1+(n-1)x]+(1+xn）=（n+1)[1+(1+xn）]/2=10公克      (1)
设一年脱离y层，则两年脱2y层：1+（1+x）+（1+2x)+...+（1+kx)=(k+1)(2+kx)/2=4公克                (2)
n+1-(k+1)=2y
n-k=2y   
（2）得：(n-2y+1)(2+nx-2yx)/2=4公克              （3）
又：（1+kx)+[1+（k+1）x]+...+(1+xn）=10-4
       2y（2+xn+kx）/2=6
        y（2+xn+kx）=6
        y[2+xn+(n-2y)x]=6  
2y +nyx+xyn-2xyy=6
y+xyn-xyy=3
         x=（3 -y ）/ （yn-yy）                    （i）
得 五年脱了5y，为z公克
得 1+（1+x）+（1+2x)+...+（1+fx)=(f+1)(2+fx)/2 =z       （4）
n+1-(f+1)=5y
n-f=5y   f=n-5y
（4）式为：(n-5y+1)(2+nx-5yx)/2 =z
2n+nnx-10xyn-10y+25yyx+ 2+nx-5yx=2z   
x(nn -10yn+25yy +n-5y)+2n-10y+2=2z     （ 5）
（1）式为 （n+1)（2+xn）=20           
                2n+x（2nn+n）=18      （6）
（3）式为  (n+1-2y)(2+nx-2yx)=8
             2n+nnx-4xyn+2+nx-2yx-4y+4yyx=8
             x(nn-4yn+4yy+n-2y)+2n-4y=6         (7)
（i）代入（6）得：2n+（3 -y ）（2nn+n）/（yn-yy）=18
               2n（yn-yy）+（3 -y ）（2nn+n）=18（yn-yy）
             -2yyn+6nn+3n-19yn+18yy =0         （8）
（i）代入（7）得：（3 -y ）(nn-4yn+4yy+n-2y)+（2n-4y）（yn-yy）=6 （yn-yy）
3nn-19yn+20yy+3n-6y+nny-2nyy=0              （9）
（9）-（8）得：-3nn+2yy-6y+nny =0               （10）
                   nn（y-3）+2y（y-3）=0
                  y=3                        
                  nn+2y≠0
y=3 代（9）为：nn-12n+27=0  
              n=6±3   n1=9，  n2=3
把（i）代入（5）式：
（3 -y ）(nn -10yn+25yy +n-5y)/（yn-yy）  +2n-10y+2=2z  
   得：2n-10y+2=2z  
      n-15+1=z
z1=-11  ； z2=-5      不可能为负克质量。
得，5年时，放射物早放射得没有了。

xfhaoym

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