代数余子式和伴随阵的一个问题

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luyuanhong

问  当 A=[a] 是一个 1×1 矩阵时，怎样求 A 的伴随阵？

答  在代数中，伴随阵有一条很重要的性质：

当一个矩阵 A 可逆时，A 的逆阵，等于 A 的伴随阵除以 A 的行列式，即必有

   A^(-1)=A*/|A| ，也就是有 A*=|A|A^(-1) 。

这条性质，是伴随阵最主要的性质，代数余子式的定义，其实是从这条性质推导

出来的。所以，在找不到代数余子式的情况下，可以利用这条性质求出伴随阵。

当 A=[a] 是一个 1×1 矩阵时，只要 a≠0 ，A 就是一个可逆阵，这时有

     |A|=|a|=a ，A^(-1)=[a]^(-1)=[1/a] 。

所以这时必有

       A*=|A|A^(-1)=a[1/a]=[1] 。

可见，a≠0 时，1×1 矩阵 A=[a] 的伴随阵，是一个元素为 1 的 1×1 矩阵。

进一步，我们可以将上述结论推广到 a=0 的情形，规定：

当 A=[a] 是一个 1×1 矩阵时，不管 a 是否等于 0 ，可以认为总是有 A*=[1] 。

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luyuanhong

（1）逆阵的定义是：如果有与 A 同阶的方阵 B ，使得 AB=BA=I ，就称 B 是 A 的逆阵，记为 B=A^(-1) 。

当 A=[a] 时，因为 [a][1/a]=[1/a][a]=[1] ，所以根据上述定义，可知 [1/a]  就是 A 的逆阵，即  A^(-1)=[1/a] 。

（2）A=[a] 时，找不到 a 的代数余子式。但是因为有 A*=[1] ，所以可认为这时 a 的代数余子式就是 1 。

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luyuanhong 发表于 2017-6-29 23:41
（1）逆阵的定义是：如果有与 A 同阶的方阵 B ，使得 AB=BA=I ，就称 B 是 A 的逆阵，记为 B=A^(-1) 。

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luyuanhong

这只不过是一个定义和说法的问题，没有什么大的关系。

第一种定义和说法：

A=[a] 中 a 的代数余子式不存在。这时，A 的伴随阵 A* ，按照原来的定义，也无法求出，

但是，我们另外给出一个定义，定义：当 A=[a] 时，认为总是有 A*=[1] 。

第二种定义和说法：

A=[a] 中 a 的代数余子式不存在，但是，我们另外给出一个定义，定义：在 A=[a] 中，

a 的余子式为 1 。这样，按照伴随阵的定义，当 A=[a] 时，就有 A*=[1] 。

这两种定义和说法，你喜欢哪一种，就用哪一种，反正现在数学中对此还没有统一的规定。

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luyuanhong 发表于 2017-6-30 01:24
这只不过是一个定义和说法的问题，没有什么大的关系。

第一种定义和说法：

谢谢陆老师！