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“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

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发表于 2011-7-2 20:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/02 09:08pm 第 3 次编辑]

    如果把 Bertrand 怪论的问题改成:
    在平面中任作一直线,当直线与单位圆相交时,求直线被单位圆
截得的弦长大于√3 的概率。

    由于“在平面中任作一直线”的做法,实质上是是唯一的,所以,
这个修改后的问题的答案,也是唯一的,不会有多种不同的答案。

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发表于 2011-7-3 07:08 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由luyuanhong2011/07/02 08:58pm 发表的内容:
    如果把 Bertrand 怪论的问题改成:在平面中任作一直线,当直线与单位圆相交时,求直线被单位圆
截得的弦长大于√3 的概率。
    由于“在平面中任作一直线”的做法,实质上是是唯一的,所以,
这个修改后的 ...
:em05: “没理的三扁担,有理的扁担三”,各占一半 ---- 1/2 .
发表于 2011-7-3 07:50 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

感觉:不管Bertrand 怪论,是否改变说法,问题的答案,都是一个。
发表于 2011-7-3 09:39 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

一个独立于相交对象的直线的各向同性,平移不变的分布。这就是极大随机的合理解读和唯一解的根据。
发表于 2011-7-3 10:09 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的


三个做法在“在平面中任作一直线”的条件下,实质上都是等价的。
但是,如果再加上“直线与单位圆相交”这个条件,就并不能保证三个做法实质上还是等价的。
事实上,要保证“直线与单位圆相交”,三个做法对参数的要求和独立型都不一样:
“做法一”要求 r∈[-1,1],对角度θ没有任何限制,r和θ相互独立。
但“做法二”会出现两种情况:
如果A点在圆内,则角度φ没有任何限制,点A和角度φ相互独立;
如果A点不在圆内,则角度φ就要受到某个范围的限制,点A和角度φ并不相互独立。
而“做法三”也会出现两种情况:
如果A、B两点都点在圆内,那么,这两点就是互相独立的,
如果A、B两点至少有一点在圆外,那么,这两个点就会互相干扰,而不是相互独立的。

发表于 2011-7-3 10:16 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

陆老师的三个做法排除了原概率悖论“在圆周上均匀取点”的可能,不仅只留下“圆内均匀取点”和“圆内均匀取角”,而且又增加了“圆外均匀取点”这一个附加条件。
因此,这三个做法和真正的概率悖论还是有一定的距离的。

 楼主| 发表于 2011-7-3 15:33 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由天茂2011/07/03 10:09am 发表的内容:
三个做法在“在平面中任作一直线”的条件下,实质上都是等价的。
但是,如果再加上“直线与单位圆相交”这个条件,就并不能保证三个做法实质上还是等价的。
事实上,要保证“直线与单位圆相交”,三个做法对参数 ...

我说的“做法一”,“做法二”,“做法三”都是作直线的方法。
在作直线的时候,与圆没有任何关系,可以认为圆还不存在,所以
作直线时,根本不用考虑 A、B 点是在圆内还是在圆外的问题。
我们可以这样设想:先在平面中按照“做法一”等作出了无数多条直线,
然后再作一个圆,再看看作出的直线中,有哪些直线是与这个圆相交的,
对于那些与圆相交的直线,再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,
然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
发表于 2011-7-3 16:13 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由luyuanhong2011/07/03 03:33pm 发表的内容:
我说的“做法一”,“做法二”,“做法三”都是作直线的方法。
在作直线的时候,与圆没有任何关系,可以认为圆还不存在,所以
作直线时,根本不用考虑 A、B 点是在圆内还是在圆外的问题。
我们可以这样设想:先在平面中按照“做法一”等作出了无数多条直线,
然后再作一个圆,再看看作出的直线中,有哪些直线是与这个圆相交的,
对于那些与圆相交的直线,再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,
然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
为了把事情搞明白,我建议陆老师试一试下面的做法:
先在平面中按照“做法二”或“做法三”作出无数多条直线,然后再作一个圆,再看看作出的直线中,有哪些直线是与这个圆相交的,对于那些与圆相交的直线,再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
如果最后的结果仍然是1/2,那么,说三个做法的实质是一样的,就更加理直气壮了。
发表于 2011-7-3 17:21 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

我们知道,极坐标确定的点和直角坐标确定的点是一一对应的,这就决定了这两种做法的等价性。
同理,如果能证明“做法一”所确定的直线、“做法二”所确定的直线、“做法三”所确定的直线,两两之间也都存在一一对应关系,那么,也可以说三种做法就是等价的。
 楼主| 发表于 2011-7-3 17:32 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/03 05:44pm 第 1 次编辑]
下面引用由天茂2011/07/03 04:13pm 发表的内容:
为了把事情搞明白,我建议陆老师试一试下面的做法:
先在平面中按照“做法二”或“做法三”作出无数多条直线,然后再作一个圆,再看看作出的直线中,有哪些直线是与这个圆相交的,对于那些与圆相交的直线,再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
如果最后的结果仍然是1/2,那么,说三个做法的实质是一样的,就更加理直气壮了。

你可以自己试试用 Excel 计算。

“做法二”:

用语句 1000*(2*RND()-1) ,1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
(实际上应该在全平面中取 A 点,但实际上这是不可能的,只能近似做到,
上面的语句,相当于在一个 (-1000,1000)×(-1000,1000) 的正方形中取。)
用语句 3.14159265*RND() 取直线的方向角 φ 。
然后,用公式 d =|x sin(φ)-y cos(φ)| 计算直线到圆心的垂直距离。
当 d≤1 时说明直线与单位圆有交点,只对这种情况进行计算。
当 d<1/2 时说明直线被单位圆截得的弦长大于√3 。
这样,你就可以算出当直线与圆有交点时,截得弦长大于√3 的概率。
我编程序计算的结果是:共作了 1000000 次直线,与圆相交的直线有 1172 条,
其中截得弦长大于√3 的直线有 598 条,算出概率为 0.51023891 。

“做法三”:

用语句 1000*(2*RND()-1) ,1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
用语句 1000*(2*RND()-1) ,1000*(2*RND()-1) 取 B 点的坐标 u 和 v 。
(实际上应该在全平面中取 A、B 两点,但实际上这是不可能的,只能近似
  在一个 (-1000,1000)×(-1000,1000) 的正方形中取。)
然后,用公式 d =|xv-yu|/√((x-u)^2+(y-v)^2) 计算直线到圆心的垂直距离。
当 d≤1 时说明直线与单位圆有交点,只对这种情况进行计算。
当 d<1/2 时说明直线被单位圆截得的弦长大于√3 。
这样,你就可以算出当直线与圆有交点时,截得弦长大于√3 的概率。
我编程序计算的结果是:共作了 1000000 次直线,与圆相交的直线有 1541 条,
其中截得弦长大于√3 的直线有 796 条,算出概率为 0.5165477 。
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