梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC,BD 交于 E，AB=AC，BE=BC，∠CAD=15°，求证 AD=BD，AD⊥BD

ccmmjj

网络搜题，见一名诗博客，将此题作为征解。并说没找到纯几何证法，我思考二天，也没找到纯几何证明特贴出求教。
如下图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ平行于ＣＤ，ＡＣ交ＢＤ于Ｅ点，满足条件：ＡＢ＝ＡＣ，ＢＥ＝ＢＣ；角ＣＡＤ＝15度。
求证：三角形ＡＤＢ是等腰直角三角形。（即ＡＤ＝ＢＤ，角ＡＤＢ＝90度）

Ysu2008

王守恩

Ysu2008 发表于 2017-7-6 00:45

1，设∠ACB=a
2，∠DCA=∠CAB=∠DBC=180 - 2a
3，∠CDB=∠DBA=a - (180 - 2a)=3a - 180
4，∠DAC=15
5，∠ADB=180 - ∠DCA - ∠CDB - ∠DAC=165 - a
6，我们有
   1= sinACBsinCDBsinDBAsinDAC/(sinDCAsinCABsinDBCsinADB)
=sinasin(3a - 180)sin(3a - 180)sin15/(sin(180 - 2a)sin(180 - 2a)sin(180 - 2a)sin(165 - a))
    解得a=75


不明之处，详见《求所有角的角度》。

ccmmjj

王守恩 发表于 2017-7-5 16:57
1，设∠ACB=a
2，∠DCA=∠CAB=∠DBC=180 - 2a
3，∠CDB=∠DBA=a - (180 - 2a)=3a - 180

这是三角做法。不过这种做法不能说不对，而且象是通法。我的意思是有没有使用辅助线之类的综合推导。
我考虑了函数方法，用唯一性也做得出来。几何追求纯几何方法，也许只是奢望。

Ysu2008

估计得借助高等几何。

费尔马1

这个题是先有了结果后有的条件，如果按照已知条件去作图，怎么也不能达到题设的图形。关键是这个题是唯一的，在作图的时候首先要注意15°角，同时你不可能再注意到两个相似的等腰三角形的顶角是30°，因为这个30°是未知的，所以这个题是逆向出题，不符合自然的规则顺序，故不容易证明。大家看是不是这个道理？

ccmmjj

你的想法和我一样。这是一个单值函数的特殊点的问题。

王守恩

各位网友！可有好方法？几何追求纯几何方法，也许只是奢望。

\(记∠EAB=2\theta\ \ \ ∠ECB=90^\circ-\theta\ \ \ ∠EBA=90^\circ-3\theta\ \ \ ∠EDA=75^\circ+\theta\)

\(\frac{\sin(∠EAD)\sin(∠EBA)\sin(∠ECB)\sin(∠EDC)}{\sin(∠EAB)\sin(∠EBC)\sin(∠ECD)\sin(∠EDA)}=\frac{\cos(75^\circ)\cos(3\theta)\cos(\theta)\cos(3\theta)}{\sin(2\theta)\sin(2\theta)\sin(2\theta)\sin(75^\circ+\theta)}=1\ \ \ 电脑解得\theta=15^\circ\)

谢谢 denglongshan！“1”是说：分子=分母，详见《求所有角的角度》。

uk702

构图很熟悉，不知有没有办法。@kanyikan

uk702

或许更经典的构型是这个（然则折腾了一天，依旧徒呼奈何）：