a,b,c∈R，a^2+b^2+c^2=9 ，2a+3b-2c=0 ，求 (4b+5c)^2+(3c+4a)^2+(5a-3b)^2 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：



所求+(3a+5b-4c)^2=(3^2+4^2+5^2)(a^2+b^2+c^2)+0(ab+bc+ca)=50*9=450即為Max

此時由兩平面2a+3b-2c=0,3a+5b-4c=0 得出交線參數式代入球面方程式即可

=> a=2,b=-2,c=-1 或 a=-2,b=2,c=1

請問這個解答是甚麼意思?

angel_phoenix99

我看懂了

要求的表达式展开后是9项(合并后变6项)
=(4^2+5^2)a^2+(3^2+4^2)b^2+(3^2+5^2)c^2-30ab+24ac+40bc
=(3^2+4^2+5^2)(a^2+b^2+c^2)-(3a+5b-4c)^2

根据非负性，最大值为450
解两个平面和球面方程求出a的取值

问题是楼主这个观察出来的结果难倒大多数人

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是网友 YAG 在“陆老师的《数学中国》园地”中对此题的解答：



請問可否求最小值?

angel_phoenix99

最小值很好求呀
(a^2+b^2+c^2)(3^2+5^2+(-4)^2)≥(3a+5b-4c)^2

最小值为0，此时a/3=b/5=c/(-4)=t

则t=(3/10)sqrt(2)

boob

angel_phoenix99 发表于 2017-7-27 11:54
最小值很好求呀
(a^2+b^2+c^2)(3^2+5^2+(-4)^2)≥(3a+5b-4c)^2

这样的话，2a+3b-2c≠0

angel_phoenix99

忽略条件了

luyuanhong