在正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，AP=AB ，向量 AC=xDE+yAP ，求 x+y 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

這個解答是甚麼意思?  AM最大值为什么是2AC

ccmmjj

我分析一下让某同学理解。

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

图上有一处笔误，就是１+λ要改为1－λ。

luyuanhong

ccmmjj 发表于 2017-7-9 22:46
图上有一处笔误，就是１+λ要改为1－λ。

我已在“陆老师的《数学中国》园地”中作了修改。

angel_phoenix99

用复数解决
设向量AC=1+i
向量DE=1/2-i
向量AP=cosθ+isinθi(0≤θ≤π/2)

则依据题意(利用虚实部对应)
1=x/2+ycosθ(1)
1=-x+ysinθ(2)

解出y=3/(2cos+sinθ)
x=2(sinθ-cosθ)/(2cosθ+sinθ)

则x+y=-1+3(1+sinθ)/(2cosθ+sinθ)=-1+3((secθ)^2+tgθsecθ)/(2secθ+tgθ)
=-1+3/(1/secθ+1/(secθ+tgθ))

由于secθ和secθ+tgθ都是单调递增函数

所以x+y最小值为1/2(此时tgθ＝0)

angel_phoenix99

用复数解决
设向量AC=1+i
向量DE=1/2-i
向量AP=cosθ+isinθi(0≤θ≤π/2)

则依据题意(利用虚实部对应)
1=x/2+ycosθ(1)
1=-x+ysinθ(2)

解出y=3/(2cos+sinθ)
x=2(sinθ-cosθ)/(2cosθ+sinθ)

则x+y=-1+3(1+sinθ)/(2cosθ+sinθ)=-1+3((secθ)^2+tgθsecθ)/(2secθ+tgθ)
=-1+3/(1/secθ+1/(secθ+tgθ))

由于secθ和secθ+tgθ都是单调递增函数

所以x+y最小值为1/2(此时tgθ＝0)

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。