一题求极值的的六种方法（转）

xfhaoym

此题要是我，只知道用导数。还有这些基本知识都没用上！

luyuanhong

楼上 xfhaoym 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

添一个方法： 利用复数乘法性质的方法。
构造两个复数：
a=3+2^（1/2） i;
b=（x-1）^(1/2） - （4-x）^(1/2) i
a的模是 根号11， b的模是 根号3
a*b的模是 根号33
a*b的实数部分，就是为题目构造的：   3*（x-1）^(1/2) + 2^(1/2) * (4-x)^(1/2)
所以，当a*b的虚数部分为0时，实数部分最大，等于模=根号33

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

其中，第4种方法有误。
————（直接算一下，所构造的对偶式K，没有达到 【 Y^2+K^2 消去 X变量】效果。  或者，分别取定义域内  1,4 两值带入计算一下，
y^2+K^2  分别为： 12和54

不过，可以调整一下构造，达到相似效果。
为简化表示， 设x-1=t,    有  y=3 * t^0.5  +  2^0.5  *  (3-t)^0.5
构造辅助函数  z =  2^0.5 * t^0.5  -  3 *  (3-t)^0.5     (是把系数对换以后的 “对偶”（姑且也算对偶吧））
t的取值范围是 [0,3] 区间。

1）  z 为单增连续函数, y为非负函数。
2）  计算一下 可得到 y^2 + z^2 = 33
3)    z   的值域范围：  [ - 3 *  3^0.5 ，  6^0.5  ] ，z 是连续函数，所以，0 在z的取得值集合中
4)    既然 y^2+ z^2 为常数33， 当 z取到0值时，y^2 到达最大值33
5） y函数非负， 所以 y^2 最大时 y取得最大值 33^0.5

————————————————————————————————————————————————————
这种方法的本质：  其实和第一种方法有很大关系，由于y的两项和的变量部分特点，可以变换成sin u 和 cos u
对 A sin u + B cos u  型函数，
自然可以构造   B sinu -  Acosu    使得两函数平方和等于 A^2+B^2

本方法可以叙述为：
对 y=3 * t^0.5  +  2^0.5  *  (3-t)^0.5    ( t属于 [0,3]）    做变量替换
设  u = arcsin( ( t/3)^0.5 )     (u  对应取值 0 到 π/2 , 属第一象限）
于是，t^0.5 = 3^0.5* sin u;  因u属于第一象限，所以又有   (3-t)^0.5 = 3^0.5* cos u
于是，  y = 3*3^0.5* sin u  + 2^0.5 * 3^0.5* cos u     
                = 27^0.5 sin u + 6^0.5 cos u
构造  Z = 6^0.5 sin u - 27^0.5 cos u

以下 z单增、 两函数平方和为33、 z的值域范围以及z可以有0值、y^2最大值、y非负等推导相同。

天元酱菜院

又及

第一种方法，把Y变换为  33^0.5 sin(T+V) 形式， 而上贴实际是构造了辅助函数  －33^0.5 cos (T+V) .

         y  = 27^0.5 sin u + 6^0.5 cos u = 33^0.5* (  (27/33)^0.5 sin u  + (6/33)^0.5 cosu  )
          Z = 6^0.5 sin u - 27^0.5 cos u  = 33^0.5* (  (6/33)^0.5 sin u   -  (27/33)^0.5 cosu  )
   令 arccos ( (27/33)^0.5 )  = v；   (0<v<π/2)  ,  有 cos v = (27/33)^0.5 ;   sin v = (6/33)^0.5

         y=33^0.5* ( cos v sin u + sin v cos u  ) = 33^0.5* sin ( u+v )
         z=33^0.5* (  sin v sin u -  cos v cos u )  = －33^0.5* cos( u+v）

那么，此方法中所构造的函数，还可以如下构造
   构造  g = 3  (3-t) ^0.5  -  2^ 0.5 * t^0.5

   于是   g= 27^0.5 cos u -  6^0.5 sin u
              =  33^0.5* cos (u+v)

【g  = -z ,  是单减函数 ，可以取到0 ........完全相似的过程。 只不过， g=33^0.5* cos（u+v） 比起z来看得完美一点】

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。