二项式幂的展式与实数(为什么存在1=0.999⋯)

195912 · 发表于 2017-7-25 12:04

本帖最后由 195912 于 2017-8-1 05:24 编辑

二项式幂的展式与实数

jzkyllcjl · 发表于 2017-7-26 12:14

实数幂的二项式需要以极限理论为基础。

195912 · 发表于 2017-7-26 12:31

二项式幂的展式
   (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+(m(m-1)⋯(m-n+1))/n! x^n+⋯,  -1<x<1 (1)
当 m=2,(1)式便是大家熟知的完全平方公式
   (1+x)^2=1+2x+x^2
当 m为正整数时,(1)式便是我们中学学过的二项式定理.在(1)式中二项式级数到x^m的项为止,后面的各项都等于零.

195912 · 发表于 2017-7-27 12:12

         (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+(m(m-1)⋯(m-n+1))/n! x^n+⋯,  -1<x<1 (1)
   （1）式漂亮不漂亮？我不知道。我知道的是很多最美数学公式的论证，与(1)式存在关联。当m=-1,由(1)式得
         1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+⋯+(-1)^n x^n+⋯,-1<x<1                (2)
不知道有多少网友熟知这个展开式?

195912 · 发表于 2017-7-28 12:02

      1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+⋯+(-1)^n x^n+⋯,-1<x<1                (2)
令 x=-1/10 ,由(2)式得
      1/0.9=1+0.1+0.01+0.001+⋯
所以
      1=0.999⋯
原来如此.

195912 · 发表于 2017-7-29 12:54

   (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+(m(m-1)⋯(m-n+1))/n! x^n+⋯,  -1<x<1 (1)
当m=-1/2 ,由(1)式得
   1/√(1+x)=1-1/2 x+ (1∙3)/(2∙4) x^2-(1∙3∙5)/(2∙4∙6) x^3+⋯ -1<x<1          (3)
令 x=-1/2 ,由(3)式得
         √2=1+1/(2∙2)+(1∙3)/(2∙4∙4)+(1∙3∙5)/(2∙4∙6∙8)+⋯

195912 · 发表于 2017-7-30 09:39

         1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+⋯+(-1)^n x^n+⋯,-1<x<1                (2)
(2)式两边同乘以0.3且令 x=-1/10 ,得
         1/3=0.333⋯
   以 x^2代入(2)式,得
         1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+⋯+(-1)^n x^2n+⋯,-1<x<1                (4)
根据积分公式,由(4)两边对-1<x<1逐项积分,得
      arctg x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+⋯+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+⋯,       (5)
可以证明(5)式在-1<x≤1上成立。令x=1 得
      π/4=arctg 1=1-1/3+1/5-1/7+⋯+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+⋯,
即
         π=4(1-1/3+1/5-1/7+⋯)
这个展式可用来近似计算  π ,达到任意的精确度。

195912 · 发表于 2017-7-31 12:37

1/√(1+x)=1-1/2 x+ (1∙3)/(2∙4) x^2-(1∙3∙5)/(2∙4∙6) x^3+⋯ -1<x<1 (3)
对任意非平方数 a ,令 x=-(a-1)/a ,代入(3)式,得
√a=1+(1/2)[(a-1)/a]+[(1∙3)/(2∙4)] [(a-1)/a]^2+[(1∙3∙5)/(2∙4∙6)] [(a-1)/a]^3+⋯ (6)
由(6)式,我们知道对任意无理数 √a ,其展式一定是无限十进不循环小数。

195912 · 发表于 2017-8-1 13:31

希望本帖对少数网友的数学理论研究有一定帮助.

jzkyllcjl · 发表于 2017-8-1 17:56

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-8-1 10:04 编辑

195912 发表于 2017-7-31 04:37
1/√(1+x)=1-1/2 x+ (1∙3)/(2∙4) x^2-(1∙3∙5)/(2∙4∙6) x^3+& ...

我说句不客气的话。你的几个帖子都是照搬书本，没有深入研究的帖子。请不要见怪。在你开始贴出这个这个主贴时，我就说过需要使用极限方法。但你没有理会我的话，贴出了这很多指责我的帖子。现在请你看我的下述意见。
你用的都是无穷次相加的表达式，无穷次加法是无法进行的，按照无穷级数的理论都需要计算出它的前n项和序列的极限。例如：你的等式  1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+⋯+(-1)^n x^n+⋯,-1<x<1                (2)
的实际意义就是右端的前n项和序列的极限等于左端。所以你根据
(2)式将两边同乘以0.3且令 x=-1/10 ,得的表达式
         1/3=0.333⋯
不恰当，
应当是无穷数列  {0.3,0.33,0.333,……}（这个数列是康托尔实数理论中的基本数列）的极限等于1/3. 所以我说：所有无尽小数都是康托尔实数理论中的基本数列，它们的极限才是实数，数列中的数都是其极限的近似值，这是有实用意义的理解，不这样理解，由于无穷个3的表达式0.333…… 具有永远写不到底的意义，它就无应用价值。
对于等式  π=4(1-1/3+1/5-1/7+⋯) 我多次指出：它给人一个假象，好像圆周率绝对准计算出来了，但实际上没有，人们只能从级数的前有限项和得到近似值。我还指出现行教科书中的所有的无穷级数和表达式都有这个缺点，都应当加上取极限的说明，或者把等号改为趋向的符号。

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