雷明，敢峰，张彧典三人研究四色问题的方法是一致的

雷明85639720

雷明，敢峰，张彧典三人研究四色问题的方法是一致的
——重读张彧典给敢峰的信有感
雷  明
（○一七年七月三十日）

今天，我再次重读了张彧典先生五月八日给敢峰先生的信《与方老商榷》，很有感想，有很多的话想说。张先生在信中说：“我们两人、还有雷明，研究、寻找四色猜想一种浅显易懂的人工证明的想法是一致的，确立5轮构形的基本模型的思路也是一致的，确立最小构形的做法也基本一致，只是具体到不可避免构形集合上有分歧。”他这三个“基本一致”，使我想到在我们之间必须做到“求大同，存小异”。要看到我们各自都能用自已的办法处理好各种平面图的4—着色问题，这就是我们的最大的共同点。至于在构造H—构形的不可免集上的不同，也只是一个小的问题，枝节的问题，不会影响大的问题。虽然各人的构形集不同，但只要在各人的理论基础上是完备的，且能够证明是完备的就可以了。问题在于各人对各自的构形集，用各自的解决办法，能够处理好各种情况下的图的4—着色就行了。
1、、三人各自的H—构形不可免集
雷明的构形集如1，张彧典的构形集如图2，敢峰的构形集如图3。
1、1        三个构形集的共同的特点：
各构形集中的各构形中，待着色顶点V都是处在一个5—轮的中心顶点上，5个轮沿顶点占用完了A、B、C、D四种颜色，都是一个5—轮构形。各构形中都有连通的A—C链和连通的A—D链，该两链有共同的起始顶点（着A色）且都在5—轮的轮沿顶点上，两链也者有一个交叉顶点（也着A色）也都不是5—轮的轮沿顶点。


1、2  三个构形集的不同之处：
雷明和敢峰的构形集中各个构形都不能直接移去两个同色B给待着色顶点V着上；但张彧典的构形集中却有Z1—构形是可以同时移两个同色B给V的，其它三个构形则也是不能同时移去两个同色给V的。


1、3  对Z1—构形的评说：
三个构形集中的所有构形除了Z1—构形外，都与赫渥特图有同样的特征——不能同时移去两个同色B给V着上，都是H—构形。虽然Z1—构形不是H—构形而属于K—构形，但张先生把它按H—构形看待，用他的颠倒着色方法也能解决好如图4的几个可同时移去两个同色B的图的4—着色问题（张先生认为这三个图是不能同时移去两个同色B的）。我现在认为，张先生把Z1—构形作为一个不可免的H—构形看待遇也不是未尝不可。因为不可免构形集中的构形并不是害怕多了，而是害怕把某些构形漏掉了，是害怕少了，少了就不行。

2、对三个构形集间各构形的关系分析
2、1  雷明的构形集中，当图变成九点形时，四个构形就分别变成了张彧典的Z1—构形，Z2—构形和图4中的b和c构形（其实雷明的构形c和d左右正好相反，实则是一类构形，同理图4中的b和c也是同一类构形）。张先生的构形集中的Z1，Z3与Z4，敢峰的构形集中的构形1，都与雷明构形集中的a类构形有共同的特点，都有环形的A—B链，除了Z1的顶点数太少，只能用同时移去两个同色B的办法解决外，其他四种构形都可以交换A—B环形链内、外的任一条C—D链，使构形变成可约的K—构形而得解。当然用张先生的颠倒法也可以使以上各构形得解，进行可4—着色。
2、2  雷明的构形集中的b类构形与张彧典的Z2—构形是同一类构形（上面已说了雷明的b类构形变成九点形时就是张先生的Z2—构形），该构形的特征是都有环形的C—D链，解决的办方都是交换C—D环形链内、外的任一条A—B链使构形变成可约的K—构形而得解。当然用张先生的颠倒法，也可以使其得到解决。
2、3  张彧典的Z4—构形和敢峰的构形1，虽然画法不同，但都是敢峰—米勒图。该图（构形）同时具有张先生的Z1—构形，Z2—构形，以及雷明的a类构形，b类构形的共同特征，既有环形的A—B链，又有环形的C—D链，且A—B链和C—D链都被分隔为不连通的两部分。交换两种链的任一支不连通的部分，都可以使构形变成K—构形而可约。对于这个敢峰—米勒图构形，我们三个人的解法都是相同的。
2、4  敢峰的构形1与雷明的c类构形，d类构形是同一类构形，只是敢峰只画出了一种。但这种构形在张先生的简化后的四个构形中是没有的，这一构形就是张先生原来的九大构形中的第八构形。这一类构形变成九点形时，就成了以上图4中的c和d构形，张先生把他们都看作是Z1—构形也是可以的。
这个构形，三人的解决办法基本上都是相同的。只是张先生用逆时针颠倒（从交换B—D链开始）或顺时针颠（从交换B—C开始）一直是按一个方向颠倒下去的；雷明与敢峰的解决办法则是先从交换B—D链开始进行转型交换，得到了一个双D夹C型（即DCD型）的构形。这个构形是一个可以同时移去两个同色D的K—构形，但要先从顶点4开始交换A—D，移去一个D；后从顶点1交换B—D，再移去另一个D，然后把D给待着色顶点V着上。但如果交换的次序错了，图就会返回到原来的图。
张先生的所谓颠倒法，其实就是转型交换，即由目前构形的双B夹A型（即BAB型）转化成别的“双X夹Y型”，其实质都是相同的。颠倒法，转型交换，都是对B—C链或B—D链进行的坎泊交换，只是这种交换不能空出颜色给待着色顶点V，而只能使构形进行转化，所以叫“转型交换”比较科学一些。
只所以说三人的方法“基本”相同的，是因为三人都是从交换B—C或B—D链的转型交换开始的；雷明与敢峰认为交换了B—D链后，构形就变成了可以同时移去两个新同色D的K—构形，而张先生则认为交换了B—D后，构形仍然是H—构形而不能同时移去两新同色D。这就产生了从第三次交换开始，雷明与敢峰是一种操作方法，而张先生又是另外一种操作方法。虽然如此，但最终都可以使问题得到解决，给图中的待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
对于以上敢峰的构形1与雷明的c类构形，d类构形，如果先从B—C链开始进行转型交换，则会得到一个双C夹D型（即CDC型）的只有A—B环形链的、类似于张先生的Z2—构形和雷明的b类构形的H—构形（类似赫渥特图一类的H—构形），再交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，构形也可以变成K—构形而可约。
2、5  敢峰的构形集中没有张先生的Z1—构形和Z2—构形，也没有雷明的a类和b类构形，可以认为他是把这两类（种）构形统一用他的构形1（即敢峰—米勒图）代替的。敢峰—米勒图构形的四种解决办法中，就包含了以上两类（种）构形的解决办法。所以说这样的代替当然也是可以的。实际上，敢峰先生在解决他的构形1时，还有另外的一种办法，即在进行了一次转交换，就得到了张先生的Z2—构形和雷明的b类构形，他用了交换A—B环形链内、外的任一条C—D链的办法，这实际上就是解决张先生Z1—构形和雷明的b类构形的办法。
3、三个不可免构形集中是否完备的问题
3、1  雷明的构形集分析
雷明的构形集是根据构形中各链的结构的不同分类的，其中A—B链，A—C链，是不能交换的，而B—C链和B—D链又不能同时交换，所以只剩下了A—B链和C—D链可以交换了。A—B链和C—D链可以是直链（道路），也可以是环形链（圈）。当A—B链和C—D链都是直链时，就是c（或d）类，该两链也是不能交换的，而只能交换B—C链或B—D链，使构形转型；当A—B链是环形链而C—D链是直链时，就是a类；而当C—D链是环形链而A—B链是直链时，就是b类；当A—B链和C—D链均既有环形链部分，又有直链部分时，就是敢峰—米勒图式的构形。张彧典先生的《四色问题探秘》一书中的图8•2只是A—B链是一条直链和多条环形链，C—D链是一条环形链和多条直链的一种情况。除此之外还有没有A—B链是一条环形链和多条直链，C—D链是一直条链和多条环形链的情况，或者A—B链和C—D链都是多条环形链和多条直链的情况呢？
首先要注意：我们这里所说的A—B环形链和C—D环形链主要是指分别经过顶点1B—2A—3B…8A…1B的A—B环形链和经过顶点4D—5C…7D—6C…4D的C—D环形链，并不是指别的环形链。从图1中可以看出，全部经过1B—2A—3B…8A…1B四个顶点的A—B环形链和全部经过4D—5C…7D—6C…4D四个顶点的C—D环形链，是不可能同时存在的，因为两条链是颜色完全不同的相反链，是不可能相互穿过的。这里所用的顶点名称（颜色前的数字）是用雷明构形集里的名称标出的，因为敢峰先生和张彧典先生的构形中是没有标明顶点名称的。
可以说以上所提出的“A—B链是一条环形链和多条直链，C—D链是一条直链和多条环形链的情况，或者A—B链和C—D链都是多条环形链或多条直链的情况”都可能会存在。但A—B链和C—D链全部都是直链时，就是c（或d）类构形，一定是可约的；而当A—B链和C—D链只要有一种环形链出现时，就分别是属于a类构形和b类构形；而当经过1B—2A—3B与8A的A—B环形链，和经过4D—5C与7D—6C的C—D环形链，同时存在且出现多次时，这就是敢峰—米勒图，这种构形也一定是可约的：

①　图5，a中有经过1B—2A—3B与8A的A—B环形链，不管经过4D—5C与7D—6C的C—D链是环形链还是直链，交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，都可以使连通的2A…6C…8A…5C的A—C链和2A…7D…8A…4D的A—D链至少有一条断开，使构形变成K—构形而可约（如图5，a）；
②　同样，图5，b中有经过4D—5C与7D—6C的C—D环形链，不管经过1B—2A—3B与8A的A—B链是环形链还是直链，交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链，也都可以使连通的2A…6C…8A…5C的A—C链和2A…7D…8A…4D的A—D链至少有一条断开，使构形变成K—构形而可约（如图5，b）。
实际上，图5的两个图中均有环形的A—B链，也有环形的C—D链，既可交换任一条A—B链，也可交换任一条C—D链，都可使两图变成K—构形而可约。

雷明从构形中各种链的结构上去分类，H—构形也就只有图1中的a、b、c（或d）三类，再没有别的不同类型的构形存在了，所以说雷明这个构形集是完备的。
3、2        敢峰的构形集分析
敢峰与雷明的构形集基本相同，他是把雷明的a类和b类构形合二而一，就是敢峰的构形1；敢峰的构形2就是雷明的c（或d）类构形。虽然敢峰先生没有对他的构形是否完备的问题进行证明，但用解释雷明构形集完备性的方法，也可以解释他的构形集也是完备的。
3、3        张彧典的构形集分析
这个构形集，从大的原则上讲，也是根据构形结构的不同进行分类的，但其中在对Z1，Z2，Z3着色时，都是用的颠倒法，只是所用交换次数分别是二次，三次和四次；但到了对Z4着色时，交换到第五次颠倒后，构形又返回到原来的又B夹A（或BAB）型。于是张先生又用了一个叫做Z—换色程序的方法（实际上就是雷明解决其a类构形和b类构形的方法）。这当然并不是不可以，但张先生却没有证明，除了Z4以外，还有没有不能用颠倒法，并且只在四次交换之内就可解决4—着色问题的构形了。这是一个不足。别人也是一定会提出这样的问题的。另外，同一个构形集，前面的Z1、Z2、Z3三个构形用颠倒（转型交换）的办法，只是交换的次数多少不同，唯独后面的一个Z4—构形却要用Z—换色程序。这用“构形的结构不同，颠倒（交换）次数的多少不同”，或者用“构形的结构不同，着色的方法不同”，都很难给以解释。
如果说把张先生的Z3—构形看成是与Z1—构形是一类的构形，把Z4—构形看成是与Z1（或Z2）—构形是一类的构形，当然也就可以用解释雷明构形集的完备性的方法，来解释张先生的这个构形集的完备性了。

    我的以上这些看法是否正确，请敢峰先生和张彧典先生指出。


雷  明
二○一七年七月三十日于长安


附：张彧典《致敢峰先生的信》
与方[1]老商榷
张彧典
我永远不会忘记1992年我们的北京会面，那是您从百忙之中抽出来的1小时会面啊！ 是您的严谨缜密的治学精神与平易近人的人格魅力激励着我，能够一直坚持至今。
这些天我认真拜读了您的四色新证，您孜孜不倦追梦的毅力令人敬佩！
我们两人、还有雷明，研究、寻找四色猜想一种浅显易懂的人工证明的想法是一致的，确立5轮构形的基本模型的思路也是一致的，确立最小构形的做法也基本一致，只是具体到不可避免构形集合上有分歧。
我的4种构形，是按照使米勒构形（也是你1992年发现的转化20次还原到图的初始位置的构形，但是画法不一样）转化4次发生周期循环的逆时针颠倒染色程序（我称之为H-M染色程序）确立的有解构形，这样得到的4个构形正如你说的，既可以看作是最小的，也可以看作是最大的，所以准确地说，这样4个构形实际代表的是4类构形。因为4类构形具有非此即彼的周期性连续变化，所以说它们必然把所有由基本模型派生出来的无穷构形分成4类，正如“星期”中连续的7天必然把所有的日子分成“星期一到星期日”7类一样。
从我的以上思路出发，我想评价一下您的两个证明。
对于92年的证明，完全正确，只是对于20个构形逐一分析有点繁琐，其实只对于米勒画法的4个周期循环构形做一个统一分析就够了：由于4个构形都存在A-B环，所以统一在这个环外颠倒C-D色链的染色，即可使得构形转化为K构形可解。
对于今年的新证，也是正确的，只是图8(A)左边呈现两个A-C环，重复了；与雷明的4个构形一样重复了A-C环（或者A-D环），应该选择图8（B）好一些。但是，这个构形是Heawood反例构形的异化放大，按照构形最小、解法不同原则，应该归纳为9点式构形即我的第2构形Z2。
以上两个证明，涉及到我的不可避免构形中的Z2、Z4两个构形证明，但是还不够完整，我想还应该有两个构形证明即我的Z1、Z3构形的证明。
问题出在哪里呢？我想是您开始所设“没有A-C、A-D两个环以外别的环存在”这个限制。
关于构形模型，其中应该存在B-D、B-C两条最短链伴随两个环存在，否则，两个环不会相交。
尊敬的方老，以上几点看法是否正确，希望交换意见。一定要在不影响你的身体安康前提下评读我的拙作、交流看法。
2017-5-8

雷明注：[1]敢峰是笔名，原名是方玄初。敢峰是《人的一生应该怎么样度过》一书的作者。


注：此文已于二○一七年八月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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