[讨论]如何证明这两个恒等式？

旅游者 · 发表于 2011-7-22 11:23

下面的两式中，m 和 n 都是正整数。经验证，它们都是正确的。
如何证明其正确性？

上面的（1）式，是1962年北京市高中学生数学竞赛试题之一。

luyuanhong · 发表于 2011-7-22 11:34

下面引用由旅游者在 2011/07/22 11:23am 发表的内容：
下面的两式中，m 和 n 都是正整数。经验证，它们都是正确的。
如何证明其正确性？

下面是我过去在《数学中国》发表过的两个帖子：

旅游者 · 发表于 2011-7-22 18:36

谢谢陆教授的解答。您的解答是针对公式（2）的，不包托公式（1）的证明。
对于您的解答，我看了一下，发现有些问题（也可能是我的理解不对），请教如下：

不知我的上述理解，哪里错了？

luyuanhong · 发表于 2011-7-23 00:26

下面引用由旅游者在 2011/07/22 06:36pm 发表的内容：
谢谢陆教授的解答。您的解答是针对公式（2）的，不包托公式（1）的证明。
对于您的解答，我看了一下，发现有些问题（也可能是我的理解不对），请教如下：
不知我的上述理解，哪里错了？

我的公式没错，是你代入公式时，最后一项写错了：

旅游者 · 发表于 2011-7-23 07:33

陆教授的指正完全对，是我把公式中的最后一项弄错了。

旅游者 · 发表于 2011-7-23 08:02

我想把定理一写成两种形式，这样来叙述主帖中的公式（2）证明：

旅游者 · 发表于 2011-7-23 10:00

主帖中的公式（1），我以前有个“不优美”的证明方法：

其实，公式（2）也可以使用这种“不优美”的证明方法。为何说它“不优美”呢？因为公式右边的求和结果是已经告诉给你了，只是让你证明一下而已。要是题目改为“求和”，事先并不知道求和的结果是什么，那上面这方法就不灵了。

luyuanhong · 发表于 2011-7-24 09:08

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/24 09:10am 第 1 次编辑]

下面引用由旅游者在 2011/07/23 10:00am 发表的内容：
主帖中的公式（1），我以前有个“不优美”的证明方法：
其实，公式（2）也可以使用这种“不优美”的证明方法。为何说它“不优美”呢？因为公式右边的求和结果是已经告诉给你了，只是让你证明一下而已。要是题目　...

楼上式子的证明，如果改成像下面这样，就能比较容易让人信服了：

旅游者 · 发表于 2011-7-26 07:46

[这个贴子最后由旅游者在 2011/07/26 07:48am 第 1 次编辑]

陆教授上帖中的方法是正规的标准方法，这道题是1962年北京市数学会为北京市高中学生数学竞赛出的一个题。当年发布的“参考答案”好像就是这样做的。

旅游者 · 发表于 2011-7-26 08:20

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