D 是 ΔABC 中一点，AB=BD=AC=8√37，∠DCB=30°，CD=8，求 ΔADC 与 ΔBDC 面积之和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

我试着做做。

首先，作正三角形ＢＤＥ如图。由∠DCB=30°,得它是以Ｅ为圆心，ＥＤ为半径的圆上的圆周角（对应圆心角∠DＥＢ=60°）。
连接ＥＣ，可以推出BE=BD=EC=AB=AC,即四边形ABEC是菱形。于是　AB∥CE且AB=CE，
这样可以推出Ａ、Ｂ、Ｅ三点到直线CD距离关系：h=h1+h2。
于是△CDE面积＝△ACD面积+△BCD面积＝原图中灰色面积。
考虑到△CDE是一腰长＝8根号37，底边＝8的等腰三角形，面积＝4h。计算h=根号（8根号37的平方－4平方）＝28根号3.
于是灰色面积＝112根号3.　　　□

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

王守恩 发表于 2017-8-7 12:11
ccmmjj 先生的方法太好了，我是绝对想不出来的。
常规解法
1，灰色部分面积=三角形ABC面积 - 三角形A ...

ccmmjj 先生的方法太好了，我是绝对想不出来的。
常规解法
1，灰色部分面积=三角形ABC面积 - 三角形ABD面积
2，三角形ABC面积=1/2×（8根号37）^(2)×sin∠BAC
3，三角形ABD面积=1/2×（8根号37）^(2)×sin∠ABD
4，三角形BCD中，已知一角与两边，由正弦定理可得∠DBC与边BC。
5，三角形ABC中，已知三边，由余弦定理可得∠BAC与∠ABC。
6，∠ABD=∠ABC - ∠DBC。
7，灰色部分面积=112根号3。

       求角度用万能公式，设∠ABD=a   ∠DBC=b（先求得）
1=sin(a)sin(30)sin(90-a×2-b×2+a/2)/(sin(b)sin(a+b-30)sin(90-a/2))
        可得a+b=60 - b       ∠ADC=150
   
更简洁的有：    延长CD交AB于E     则
灰色部分面积=三角形ABC面积 - 三角形ABD面积
                   =1/2×AB×CE×sin∠AEC - 1/2×AB×DE×sin∠AEC
                    =1/2×AB×CD×sin∠AEC
                    =1/2×(8根号37)×8×sin∠(90 - b)
                    =112根号3