已知 0≤x≤1 ，n∈N ，证明不等式：0≤x^n-x^(n+1)≤n^n/(n+1)^(n+1)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

1） 此题微有瑕疵，  0^0 未被公认有意义。 以下在n 属于  N - {0} 条件下作答本题。
2） 当x=0时，可直接验证： 0<= 0-0 <n^n / (n+1)^(n+1),   所以不等式成立。
3)   当x=1时，可直接验证：0<= 1-1=0< n^n / (n+1)^(n+1), 所以不等式成立。
4） 当 0<x<1时， x^n - x^(n+1) = x^n * (1-x) , 明显大于0
5） 当 0<x<1 时， 对关于x的函数f(x)= x^n - x^(n+1)  求极大值

       f ' (x) = n x^(n-1) - (n+1)x^n = x^(n-1) *(n-xn-x) .......( 0<x<1 )
        可求出其在x=n/(n+1)处等于0，是定义域内唯一等于0的点。
       f''(x) =(n-1) x^(n-2) (n-xn-x) - (n+1)x^(n-1)
       其在n/(n+1) 处 = -（n+1） (n/(n+1))^(n-1) <0
      
       可见，在x=n/(n+1)处，定义在开区间的函数f(x)  有唯一的极大值：
      
       （n/(n+1)）^n - (n/(n+1))^(n+1) =[ n^n  * (n+1)  - n^(n+1) ] / (n+1)^(n+1)
      = [ n^n  *(n+1-n)] / (n+1)^(n+1) = n^n / (n+1)^(n+1)

      所以，在（0,1） 区间， x^n - x^(n+1) <=n^n / (n+1)^(n+1)

综合2）、 3）、 4） ，5）， 本命题得证。
  

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。