角平分线定理

王守恩

图形说明：
AB是三角形ACD角A的平分线。
在三角形ABC中，
易知AC/sina=BC/sink
推得AC/BC=sina/sink    (1)
在三角形ABD中，
易知AD/sinb=BD/sink
推得AD/BD=sina/sink   (2)
综合(1)，(2)
sina/sink=AC/BC=AD/BD
推得AC/AD=BC/BD

ccmmjj

这是教材内容。叫作内角平分线定理，简称角平分线定理。还有一个外角平分线定理，你试研究出来。

王守恩

1、三角形内角平分线定理。AC/AD=BC/BD
由AC/AD=BC/BD推得1=AC×BD/（AD×BC）=AC×BD×K/（AD×BC×K）
2、由1=AC×BD×K/（AD×BC×K）推得1=AC×BD×K1/（AD×BC×K2）
3、三角形内角平分线定理扩大。
恒有1=AC×BD×K1/（AD×BC×K2）

denglongshan

复数证明方法

denglongshan

外角平分线稍作修改即可证明。

王守恩

王守恩 发表于 2017-8-16 16:04
1、三角形内角平分线定理。AC/AD=BC/BD
由AC/AD=BC/BD推得1=AC×BD/（AD×BC）=AC×BD×K/（AD×BC×K）
...

说明：
1，K1=K2=K是三角形内角平分线定理的特殊特征。1=AC×BD×K/（AD×BC×K）
2，一般情况下，K1≠K2才是普遍存在的问题。K1=K2=K只是特例。
3，三角形内角平分线定理扩大。恒有：1=AC×BD×K1/（AD×BC×K2）
4，1=AC×BD×K1/（AD×BC×K2）还真是能替我们解决不少的题目。

denglongshan

举一个例子

王守恩

三角形ABC，AF、BD、CE分别是角A、B、C的平分线，
K1、K2、K3、K4、K5、K6是六个不同的自然数。
30+40+56+84+70+35=315。
六个不同自然数的和还能比315更小的吗？

王守恩

ccmmjj 发表于 2017-8-10 07:04
这是教材内容。叫作内角平分线定理，简称角平分线定理。还有一个外角平分线定理，你试研究出来。

等腰三角形ABC，AB=AC，
AD是角A的平分线，且AD=2AB，
过D点作AB的垂线交AB于E，
DE也许会在AB的延长线上。
求证：DE=BC。

liangchuxu

给出一种向量证法。