从概率的角度看哥德巴赫猜想

lihn188995

从概率的角度看哥德巴赫猜想
在这里先从一个红白乒乓球的概率例子说起：如果有一筐乒乓球，总个数为2n个，红色乒乓球的总个数为x个，其余为白色乒乓球，那么可以知道，从筐里取一个乒乓球是红色的概率是x/2n。接下来如果我们把乒乓球随机的分成数量相同的两筐（即每筐为n），假设有一筐里的红色乒乓球为a个，则另一筐里的红色乒乓球数就是x-a个，那么从两个筐里各取一个乒乓球，同时为红色乒乓球的概率就是（a/n）*((x-a)/n)，全部可能次数就等于（a/n）*((x-a)/n)*n次。
我们再看看哥德巴赫提出的猜想“任何大于2的偶数，都可以分解成两个素数之和”。容易理解，猜想的真正含义是“对于任何偶数N=2n 当n=2 、3 、4 、5 、……
n-1、n。且当n→ ∞ 时，都可以分解成两个素数之和” 例如：4=2+2  6=3+3  8=3+5 等。当n较小时我们可以举例证实猜想是成立的，问题的焦点是如何证明当n→ ∞时，偶数N=2n 也可以分解成两个素数之和。
事实上我们知道，当n→ ∞时，偶数N=2n可以分解成n/2对各不相同的奇数之和，用式（一）表示：N=2n
1          3        …  2a-1 …       n-3       n-1  
2n-1        2n-3     … 2n-(2a-1)…     n+3       n+1
（此时需要n为偶数，a=1、2 、3 、…… 、n/2 ）  
或者分解成(n+1)/2对各不相同的奇数之和，用式（二）表示 N=2n
1          3        …  2a-1 …       n-2        n  
2n-1        2n-3     … 2n-(2a-1)…     n+2        n
（此时需要n为奇数，a=1、2 、3 、…… 、（n+1）/2）
当n→ ∞时 由于 (n+1)/2≈n/2 ,故均可看作只有n/2对，那么我们只有证明在这n/2对各不相同的奇数对里，至少存在一对，其中两个同时是素数，则可以说明猜想是成立的！
如果从集合和概率的角度分析，就可看出：式（一）或式（二）的上半部分是1～ n（亦即1～N/2）的奇数集，下半部分是n～2n（亦即N/2～N）的奇数集，两个奇数集必然存在素数以及相应的概率，哥德巴赫猜想命题的实质上变为：在不大于偶数N的奇数里存在(1～N/2)及(N/2～N)的两个奇数集,在这两个奇数集里各取一数，必然存在这两个数同时是素数，且两素数之和等于N。
回到开始的红色乒乓球的概率例子，就可以看出它们的相同性质，如果设奇数集(1～N/2)及(N/2～N)里的相对应的素数概率分别是f1和f2,那么由于两奇数之和等于N的不相同的可能对子为n/2，要求两奇数同时是素数且相加之和等于N的可能对子的总数应该等于f1*f2*(n/2)个了。
于是问题归结为：证明式：f1*f2*(n/2) ＞1或者f1*f2*(N/4) ＞1 成立，
…………
经过推理可以证明下面结论成立：
（1）当偶数N是6的倍数时
f1*f2*(N/4) ＞0.24830*N2/3
（2）当偶数N不是6的倍数时
  f1*f2*(N/4) ＞0.12415*N2/3
表达式说明对于任意大的偶数N不但存在和为N的两个素数对子，而且存在的素数对子随着N的增大而增多，并且当N是6的倍数的偶数出现的概率更多！
推理过程全为初等代数演算，略占篇幅。稍后再附

lihn188995

（1）当偶数N是6的倍数时
f1*f2*(N/4) ＞0.24830*N2/3
（2）当偶数N不是6的倍数时
f1*f2*(N/4) ＞0.12415*N2/3
这里的N*2/3表示N的2/3次方

gxlz

如果结论是这样的，那么从概率角度讲，哥猜命题的意义岂不是不大？

lihn188995

问题归结为如何求F1和F2了，我们知道，到目前为此，有关素数的分布的准确表达式还是没有定论，但是求不大于N的素数个数π（N）的精确表达式则在华罗庚的《数论导引》可找到，用下式表达：
π（N）= N*（1/2）*（2/3）*（……）*((Pi-1)/Pi)+r-1
其中 1≦i≦r          Pi≦√N￣＜Pi+1
那么从概率角度,设不大于N的素数的概率为F(1-N) 则
F(1-N)= π（N）/N
所以F(1-N)＞（1/2）*（2/3）*（……）*((Pi-1)/Pi)
通过推算可以得出
F(1-N)＞0.411/N(1/6)    (这里N（1/6）表示N的6分之1次方）

lihn188995

同样如果设不大于N/2的素数的概率为F(1-N/2) 则可以推算出：
F(1-N/2) ＞0.7777*F(1-N) (当N＞100 且  →∞ 时) 成立

gxlz

别挤牙膏式的！

珠穆亚纳

下面引用由lihn188995在 2006/04/20 01:47pm 发表的内容：
问题归结为如何求F1和F2了，我们知道，到目前为此，有关素数的分布的准确表达式还是没有定论，但是求不大于N的素数个数π（N）的精确表达式则在华罗庚的《数论导引》可找到，用下式表达：
π（N）= N*（1/2）*（ ...

参阅此文：http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=325

lihn188995

珠穆亚纳先生：
   你好！谢谢你的提示，我在这里发这贴子的用意倒不在找素数的精确表达式，只是想推导出对于一任意个大偶数N，由于只有N/4对不相同的奇数之和，在这N/4对不相同的奇数对里，存在的由两个素数之和等于N的可能对子。通过上面的结论，多概率的角度可以知道这样的素数对子，是随着N的增大而不断的增多，这还禁让人怀疑，哥猜还有什么现实的意义！还值得人们花费那么多的时间去证明它吗？这是本贴的用意所在。
   至于你提示我去看你的★素数定理☆
   我对你定义自己发明的式子为《素数的最后定理》的自信表示佩服，但你自己不明白，怎么“此文章已发表两个多月了，大道至简，大音稀声，有些“好龙者”怎么噤若寒蝉了？”
   我说说两点看法：
   1、人们希望看到的能精确描述不大于x的素数个数（或分布）的公式（或者常说的素数定理）是一个只与x有关的表达式，
   2、该表达式而且能用图形及语言来描述。
   看来你的公式还达，不到恐怕这是原因了吧。如果说错，请多包涵
  

珠穆亚纳

下面引用由lihn188995在 2006/04/21 00:27pm 发表的内容：
珠穆亚纳先生：
   你好！谢谢你的提示，我在这里发这贴子的用意倒不在找素数的精确表达式，只是想推导出对于一任意个大偶数N，由于只有N/4对不相同的奇数之和，在这N/4对不相同的奇数对里，存在的由两个素数之　...

[color=#0000FF]    我所介绍的结果本身在提示着一些重要的信息：素数的分布的N中素数的数量，有着两个不同的形式，素数的分布本身，是在越来越强烈的波动中变化。素数的数量，则是逐渐的随着N的增大而越来越缓慢（与N比较）的增多。这个现象提示着“由于只有N/4对不相同的奇数之和，在这N/4对不相同的奇数对里，存在的由两个素数之和等于N的可能对子。”的想法与实际素数分布和比率有很大差距，而且N越大，差距越大，更不用说“存在的由两个素数之和等于N的可能对子”的数量和N的比率了。
    关于““此文章已发表两个多月了，大道至简，大音稀声，有些“好龙者”怎么噤若寒蝉了？”之说，其中曾经有比较深入的讨论，而且是随着讨论争论的逐步深入而逐渐降温（指争论的热度），最后就不再进行下去了。
    这个沉默，只蕴涵着两种后果：不是在沉默中爆发，就是在沉默中消逝。——这与我的《宇宙统的数学原理1》发表后的现有状况相同。
    在另一个论坛，我曾经宣布，这个系列理论是对现有数学体系的一个最高层次的擂台之战，需要所有现数学体系最顶端的数学权威来应战……。 :em10:

lihn188995

在这里谈谈个人的一些看法，请众看官评评对与不对：
   有些人一方面在套用着概率这一学科的概念，比如珠穆亚纳先生说的：素数的分布的N中素数的数量，有着两个不同的形式，素数的分布本身，是在越来越强烈的波动中变化。一方面又不知如何面对和解释“零概率”。不错，一如珠穆亚纳先生所说“由于只有N/4对不相同的奇数之和，在这N/4对不相同的奇数对里，存在的由两个素数之和等于N的可能对子。”的想法与实际素数分布和比率有很大差距，而且N越大，差距越大，更不用说“存在的由两个素数之和等于N的可能对子”的数量和N的比率了”
  但不能否认：“无论不大于N的素数个数π（N）与N的比率π（N）/N，在N如何趋于无穷大时π（N）/N值如何趋于零，π（N）却在不断的增多”的事实，用珠穆亚纳先生所说就是“素数的数量，则是逐渐的随着N的增大而越来越缓慢（与N比较）的增多”。这就好象装满大米的米缸里面有几粒老鼠屎（用这样的例子有点不雅），不管老鼠屎的概率是如何，它的存在不容质疑。何况这里的老鼠屎和装满大米的米缸没有什么联系，而上面所求的“存在的由两个素数之和等于N的可能对子”却和N有关，它随N的增大不断的增多。
   我想大家都明白，哥猜要找的是“存在由两个素数之和等于N的可能对子，那怕只有一对”而却不是“存在的由两个素数之和等于N的可能对子”的数量和N的比率。
   （在这里更改8楼的两个错误：
     1、第三行“通过上面的结论，多概率的角度......”应为“通过上面的结论，从概率的角度......”
     2、最后一行“ 看来你的公式还达，不到恐怕这是原因了吧。”应为“ 看来你的公式还达不到，恐怕这是原因了吧。”