求二元二次不定方程求整数解的方法？

GLYZHJ

[这个贴子最后由glyzhj在 2011/08/01 08:30am 第 5 次编辑]

        10007＝6NM+N^2+M

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/01 02:20pm 第 1 次编辑]

下面引用由glyzhj在 2011/08/01 08:24am 发表的内容：
        10007＝6NM+N^2+M

    当 N＝5 ， M＝322 时，有
6NM＋N^2＋M＝6×5×322＋5^2＋322＝9660＋25＋322＝10007 。

w632158

谢芝灵

数学本是美的,是智的.看了上面二个解答,学生都不爱学数学了.
先见啊,都凭空知道  m=322  和  n=5
还解什么解.3楼前半还有数学味,后来就.....

w632158

[这个贴子最后由w632158在 2011/08/01 04:51pm 第 1 次编辑] 我们现在还没有一般的方法来判断一个多项式是一个完全平方式的方法。我的方法只能是让k取大于101以后的数进行验证。如果这个题是求正整数的解就可以给出一个完整的证明。可以加强为m<10007

cwl

[这个贴子最后由cwl在 2011/08/03 02:58pm 第 1 次编辑]

用二次同余式解
因为10007是素数，所以把等式化为二次同余式进行求解
x^2≡m(9m-1)  mod  10007
将m=1至10006代入，利用勒让德符号进行判断，从而解出他们的所有解。
他的解小于10006组
根据
x^2≡m     mod  10007
x^2≡9m-1  mod  10007
所以他的解小于或等于33组。

cwl

此式不能用佩尔方程进行求解，因为9是完全平方数，所以这个解是有限的。

cwl

[这个贴子最后由cwl在 2011/08/01 07:52pm 第 1 次编辑]

它可以化解成（x+y）（x-y）=10007-1/36
它的正整数解数是几组也就可以得出了。

drc2000

下面引用由谢芝灵在 2011/08/01 04:11pm 发表的内容：
数学本是美的,是智的.看了上面二个解答,学生都不爱学数学了.
先见啊,都凭空知道  m=322  和  n=5
还解什么解.3楼前半还有数学味,后来就.....

看来谢芝灵先生必定有妙解,
不妨拿出来让大家一起分享.

GLYZHJ

谢谢各位来到这里。陆老师给出答案，弯老师说出方法，谢先生有办法没说，CWL先生没有说具体方法。
我要的是具体方法，并且数很大也能计算。请大家慷慨拿出。