集合论与哥德巴赫猜想（一）

雷明85639720

科普读物
集合论与哥德巴赫猜想（一）
雷明编著
（二○一七年八月二十五日）

前     言

可能有人会问，你是学工科的，并非是数学专业，为什么搞起了哥德巴赫猜想了呢。这还得从我研究四色问题说起。
一九八四年和一九八五年，我先后两次学习计算机，学习计算机语言，书上和老师都讲到四色猜测人一辈子时间也证明不完，可在电子计算机问世之后，由电子计算机给证明了。我认为这个说法很不妥当，从那时起我就下决心自已独自用手工和业余时间来研究四色问题。
起先，我也与前辈们一样，也是画图，着色，大量的平面图着色时都只用四种颜色就够用了，但始终不能得到任意平面图着色时四种颜色就够用了的结论。于是我就想：图是千变万化的，有无穷无尽的图，你能给它们都着一遍颜色吗。不能。那么，这条只给具体图着色的路就走不通了，必须找别的路子。于是我就把研究四色问题与图论结合起来，再也不去对任何一个具体的图进行着色了，而只从研究图顶点的同化出发，得到任意图顶点着色的色数与图的密度的定量关系式，再把平面图的密度不大于4代入其中，就得到了任何平面图着色时，色数总不大于4的结论（见我的《四色猜测与欧拉公式》一书）。这时我总结出：研究象四色问题这一类有无穷多个对象的问题时，不能只看到一个一个的个体，而要站在全体的高度，不能只去研究某个具体的对象，而要研究全体对象所有的内在的共同性的东西，然后从中找出规律性的东西来。
我想，四色问题可以这样解决，那么哥德巴赫猜想能不能仿照它而得以解决呢。自然数，素数等都是无穷的，都是一个无穷的集合。同样，研究哥德巴赫猜想也不能只企图找一个所谓“充分大”的偶数，把其分解成两个素数的和的形式。而要反过来想一想，把任意两个素数相加，包括它自身相加的一次在内，所得到无穷多个“和”构成的集合，是不是所有大于等于4的偶数呢。这样，就得要研究无穷集合，用集合论的方法来研究哥德巴赫猜。于是我就开始学习集合论，并于一九九五年写了用集论方法证明哥德巴赫猜想的论文。论文中得到这样一个集合，即“把任意的两个奇素数相加”而得到的“所有元素都是大于等于6的偶数”的无穷集合。这个集合是否就是“所有大于等于6的偶数的集合”呢，这是一个关键性的问题。如果是，就可以证明哥德巴赫猜想就是正确的，否则，哥德巴赫猜想就不正确。
这个问题，我用了多种办法进行了证明，总感到上面所提到的集合就是所有大于等于6的偶数的集合，但又总感到理由还不太充分。多少年，我一直就困扰在这里，使我的研究处于停滞状态。2006年我在网上看到8月9日至11日将在银川召开“第五届全国现代科学计算研讨会、第二届西部地区计算数学年会暨首届海内外华人青年学者计算数学交流会”（简称“数学三会”），我大胆的从网上向会议提出了要求，要求参加会议并在会上交流（当然会议中我也可以进一步向专家和前辈们请教）。可喜的是大会组委会给了我一个很大的面子，同意我参加会议，并安排我于8月10日上午在分组报告会上作学术报告。我怕我一个非数学专业的人，并且是作数学难题方面的学术报告，可能不会有人认真去听，甚至会给我难看，所以我只用了几分钟的时间，宣读了我的《集论法证明哥德巴赫猜想》的论文摘要。可专家们对我的研究思路基本上是肯定的，但也同样指出了连我自已也认为理由不太充分的地方还是存在着一定的问题。
银川“数学三会”之后，多少年半来，我继续进行了不断的研究，用了更加充分的理由，来说明上面所提到的那个集合就是所有大于等于6的偶数的集合。进而证明了哥德巴赫猜想是正确的。
现在我把我的论文进一步整理，并加进了关于素数、哥德巴赫猜想和集合论方面的有关内容，编成这本七万字左右的小册子。这个小册子首先以什么是素数引入，在谈了素数的有关知识后，便引入了哥德巴赫猜想；在介绍了哥德巴赫猜想的提出及历史上对哥德巴赫猜想的各种各样的证明之后，又因为素数是一个无穷的集合，所以就再引入了集合与集合论的有关内容；最后用集合论的方法对哥德巴赫猜想进行了证明；在书的末尾，附录了我的论文《集论法证明哥德巴赫猜想》和银川“数学三会”的报发的《论文摘要集》所登录的我的《集论法证明哥德巴赫猜想》的论文摘要及我在银川“数学三会”的分组报告会上宣读的我的《集论法证明哥德巴赫猜想》的论文摘要，作为结束。
我作为一个非数学专业的小人物，研究四色问题和哥德巴赫猜想，可能在很多人眼里觉得不可思议。可能在数学界里，还会认为这是一件不可能的事。我认为，在数学界里，专家们把难题看得太复杂了，甚至认为是永远不可能的事。不是有权威人士常发出命令不要大家去研究哥德巴赫猜想吗。他们自已不研究这些问题了，也不让别人去研究，理由是百学数学专业的人没有那么高深的数学功底。所以我的论文自知是不可能在有关的数学杂志上发表的，投去也是白费力气，我只有编成书以寻求出版，希望出版单位能给以支持，在这里表示感谢。


本书作者  雷  明
二○○八年二月二十日于长安
二○一七年八月二十四日修改



目      录
前  言…………………………………………………………………………………1
（一）什么是素数 ………………………………………………………………1
1、什么是素数……………………………………………………………………………3
2、“1”是不是素数 ……………………………………………………………………5
3、素数有无穷多个………………………………………………………………………7
（二）什么是哥德巴赫猜想…………………………………………………11
4、什么是哥德巴赫猜想 ………………………………………………………………13
5、1742年哥德巴赫提出猜想…………………………………………………………14
6、所谓猜想第二部分的证明 …………………………………………………………15
（三）历史上对哥德巴赫猜想的证明 …………………………………17
7、所谓“m＋n”思想的形成…………………………………………………………19
8、“m＋n”国际智力接力赛 …………………………………………………………20
9、最终攻克“1＋1” …………………………………………………………………22
（四）集合论简介………………………………………………………………23
10、集合论与集合………………………………………………………………………25
11、集合的分类…………………………………………………………………………27
12、集合的描述方法……………………………………………………………………28
13、两个集合的相互关系………………………………………………………………30
14、集合的运算…………………………………………………………………………32
15、对应与函数…………………………………………………………………………35
16、两个集合等势………………………………………………………………………37
17、两类无穷集合………………………………………………………………………39
18、素数是一个可数集合………………………………………………………………41
19、集合势的和、积、幂………………………………………………………………42
20、集合势的比较………………………………………………………………………44
21、哥德巴赫猜想也是一个集合问题 ………………………………………………46
（五）用集合论方法证明哥德巴赫猜想 ……………………………47
22、证明哥德巴赫猜想的关键问题……………………………………………………49
23、所有任意两个奇素数的和构成的集合中的元素都是大于等于6的偶数………50
24、所有任意两个奇素数的和构成的集合就是所有大于等6的偶数集合…………52
25、任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和……………………………………55
26、证明哥德巴赫猜想的第一部分……………………………………………………56
27、证明哥德巴赫猜想的第二部分……………………………………………………57
28、哥德巴赫猜想是正确的……………………………………………………………59
后  记 ………………………………………………………………………………61
附  录 ………………………………………………………………………………63
1、我的论文：集论法证明哥德巴赫猜想 ……………………………………………65
2、2006年银川“数学三会”《论文摘要集》中所载
我的参会论文《集论法证明哥德巴赫猜想》的摘要 …………………72
3、2006年银川“数学三会”的分组学术报告会上
我宣读的《集论法证明哥德巴赫猜想》论文的摘要…………………73
参考文献……………………………………………………………………………75


（一）
什 么 是 素 数

1、什么是素数
   
我们这本书中要研究的哥德巴赫猜想主要是关于素数的问题的，所以我们就首先用几节的篇幅来对素数进行一下介绍。

无穷无尽的自然数列中，按各个自然数是否在被1和它自身整除以外，还能不能被别的数整除，可以分为以下三类：
第一类：在被1和它自身整除以外，还能被别的数整除的自然数，叫合数。如自然数10，它除了能被1和它自身10整除外，还能被2和5整除。
第二类：在被1和它自身整除以外，再不能被别的任何数整除的自然数，叫素数，也叫做质数。如自然数11，它除了能被1和它自身11整除外，再不能被别的数整除。素数中，除了“2”是偶素数以外，其它的素数都是奇素数，
第三类：自然数1，更特别一点。它除了能被1和它自身整除以外，再不能被别的任何数整除，肯定不能叫做合数；但1也就是它自身，它自身也就是1，它也不同于其它的素数；所以把它要单独列出，既不叫合数，也不叫素数，单独为一类。
素数虽属于自然数的一部分，但它也是无穷无尽的。素数在自然数中的分布是否有规律呢。可以这样说，在自然数列中，素数的间距是长短是不一样的。如果说有规律的话，那就是：某个自然数只能被1和它本身整除，而再不能被别的数整除，且是不等于1的自然数就是素数。这也就是素数的定义。
500以内的素数如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293，307，311，313，317，331，337，347，349，353，359，367，373，379，383，389，397，401，409，419，421，431，433，439，443，449，457，461，463，467，479，487，491，499，共计95个。
以上表中可以看出，素数的分布似乎是没有规律的，其实并不然。从素数的定义就可以看出，它的分布还是有一定的规律的，只是这个规律一下子还不可能用一个数学公式表示出来而已。若用x表示一个素数，则素数集合X就可以表示成：
    X＝｛x│x是只能被1和它本身整除的且不等于1的自然数｝
这里“x是只能被1和它本身整除的且不等于1的自然数”就是素数的分布规律。

上面列举的500以内的95个素数以及这里素数集合X的表示方法都是集合的描述方法（见后面第12节《集合的描述方法》一节）。

2、“1”是不是素数

第一节中已经说了，自然数“1”很特殊，它既不叫合数，也不能叫素数。可“1”不也是只能被1和它本身整除的数吗，为什么不能算做素数呢。如果把“1”也算做素数，那么，自然数就只分为素数与合数两类，岂不更好吗。其实，不把“1”叫做素数，还有另外的原因。
认为“1”不是素数的观点是：
我们知道，合数都可以由几个素数相乘而得到。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数（其若干个素因数是由小到大按次序排列的）。显然，每一个合数都能够分解素因数，而且只有一种结果。如3003分解素因数的结果是：
    3003＝3×7×11×13
而36分解素因数的结果是：
        36＝2×2×3×3
平常做分解素因数的数学题时，如果有两个人的结果不一样，那么，就至少有一个人的结果是错的了。这是因为把一个合数分解成素因数的结果只能有一种形式。
如果把“1”也算做素数时，那么，把一个合数分解素因数的时候，它的答案就不只是一种形式了。又如把3003分解成素因数相乘的形式，就会出现下列的多种结果：
    3003＝3×7×11×13
    3003＝1×3×7×11×13
3003＝1×1×3×7×11×13
………………
等等，同样36也是这样：
        36＝2×2×3×3
        36＝1×2×2×3×3
        36＝1×1×2×2×3×3
　　　　………………
也就是说，在分解式里是可以随意添上几个因数“1”的。这样做，一方面对于求3003和36的因数毫无必要，另一方面使合数分解因数的结果就不止一个，又增加了不必要的麻烦。所以“1”不能算做素数。
    还有一种观点，认为“1”应属于素数之列，其观点是：
    根据素数的定义，“1”也是只能被1和它本身所整除的自然数，它也不能再被任何数所整除，所以“1”应是素数。以上他们对3003和36的素因式分解过程中有错误：（1）第一个结果中没有素因子“1”，是因为他们认为“1”不是素数的结果；（2）第二个结果才是正确的，这才是3003和36分解素因数的唯一正确的结果；（3）从第三个结果起，以后的结果都是错的。因为3003和36被1所除后，得到的商仍是3003和36，第一次用1所除后，就再不能用1去除了，因为再用1除，每次都得到同样的结果就没有意义了。所以以后就只能用后面的素数去除，而只有在这时，即就是用同一个素数所除，每次所得到的结果却是不一样的。所以说，从第三个结果以后都错的，且这都是从素因数分解过程中带来的错误。所以“1”应是素数。
    “1”本身是一个奇数，同时它又是自然数的起点，是自然数计数的单位。有了1，才有无穷无尽的自然数。1本身还是最小的奇数，又是最小的素数。1虽是自然数，但又不同于其它的自然数。从这一点上讲不把1列为特殊的另一类数也不是不可以。


3、素数有无穷多个

在第一节《什么是素数》中已经提到了素数虽属于自然数的一部分，但它也是无穷无尽的。也即素数是有无穷多个的。现在介绍几种证明的方法。
1、“筛法”直观的证明：
在自然数列中，究竟哪些是素数呢。公元前300多年，希腊学者爱拉托斯散（Eratasthenes）提出了一种方法，他在一张纸上写上自然数列的数字，把它帖在一个纸框子上，然后把其中的合数一个一个的挖去，得到一个有许多小孔的像筛子一样的东西，所写到的合数都好像被筛子筛去了一样，而只把素数留了下来，所得到的这张有很多小孔、像筛子一样的表就叫做“爱拉托斯散筛子”。
爱拉托斯散是怎样“筛”的呢。例如，他要造一张1到50的素数表，首先就先要写上1到50这50个自然数，然后先划去1，把2留下；再划去其他所有2的倍数，把3留下；再划去其他所有3的倍数，把5留下；又划去其他所有5的倍数……；依此类推，继续下去，只要是素数就留了下来，于是就得到了50以内的所有素数。这就是著名的“筛法”。
按照这个方法，可以找出100以内，500以内，甚至更大的自然数以内的素数，但找不到所有的素数，你做的“筛子”再大，“筛”掉合数后，总还能留下更大的一些数没有被筛，这些数里还有没有素数，因为你再没有筛而分不出其中那些是合数那些是素数。所以用这种直观的方法还不能说明素数就是有无穷多个的。还得要有更严密的数学证明。
2、欧几里德的证明：
在公元前约275年，同样是希腊著名的数学家欧几里德（Euclid）采用一个巧妙的方法证明了素数是有无穷多个的。
欧几里德在他的《几何原本》里，提出并解答了素数序列最后是否有终结的问题。他已经证明了这个序列没有终点，也就是说在每一个素数之后，总能找到另一个更大的素数。
欧氏的证明非常巧妙而且很简单。一些数3，6，9，12，15，18，……，都是3的倍数，而其它的数都不能被3整除。依次较大的数4，7，10，13，16，19，……，都是3的倍数加1，自然是不能被3整除的，例如，19＝6•3＋1，22＝7•3＋1等等。同样5的倍数加1也是不能被5整除的（21＝4•5＋1）。对于7，11等等也都是一样。欧氏写出了下列各数：
2•3＋1＝7
2•3•5＋1＝31
2•3•5•7＋1＝211
2•3•5•7•11＋1＝2311
2•3•5•7•11•13＋1＝30031
……………………………………
以上各式都是：头两个素数，头三个素数，以及更多的头几个素数乘在一起然后再加1。这些数不能被任一个组成它的素数整除。因为31是2的倍数加1，它不能被2整除；它又是3的倍数加1，所以不能被3整除；它还是5的倍数加1，也不能被5整除。而31恰好是一个素数，并且是大于5的。211和2311也都是素数，分别都是大于7和11的。但30031不是素数，既然30031不是素数，也不能被2，3，5，7，11和13中任何一个素数所整除，所以它不但一定有其它素因子，而且它的这些素因子一定是大于13的。事实上，通过简单的计算得到，30031＝59•509，而59和509都是远大于13的。
这样的论证可以一直推演下去。令P为任意一个素数，作出由2到P的全部素数的乘积再加1，写成2•3•5•7•11•……&#8226＋1＝N，素数2，3，5，7，11，……，P之中没有一个可以整除N。在一种情况下N是素数，那么N自然是大于P的；否则在另一种情况下，N不是素数，那么N一定还有别的素因子，其一定和2，3，5，7，11，……，P都不同，并且一定是大于P的。不论是在那一种情形，一个大于P的素数已经找到。因此，不管P有多么大，总有更大的素数在P 后面存在。这就证明了素数的个数是无穷多的。有兴趣者可查看参考文献中的《数学欣赏》一书）
3、欧拉的证明：
俄国彼德堡科学院院士，瑞士人欧拉（Euler•L）对素数有无穷多个的证明所采用的主要思想，正是完全数理论的础。欧几里德对完全数是这样定义的：即完全数是这样一种数，它等于它的除了它本身以外的所有因子的和。这些因子也包括1在内，但不包括它本身。如6就是一个完全数，它有因子2和3，加上1后，则有1＋2＋3＝6，还有28＝1＋2＋4＋7＋14等。这个证明方法比较复杂，这里就不再叙述了。
从这里还可以看出，分解素因数时，其中必有一个因数是1，即是这样，把1作为素数看待也是应该的。

    还有一个证明，即利用可数集合的性质进行证明。这将在后面介绍了集合论的简单知识后的第18节《素数是一个可数集合》给出。

（二）

什么是哥德巴赫猜想

4、什么是哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是一个著名的数学难题。自1742年提出至今还没有从理论上证明是正确的还是错误的。
什么叫猜想，在算学上，“猜想”可不是胡思乱想，它是一些经过反复实践，用大量数据验证出其结果是正确的，但一直不能给予理论证明的数学命题。
哥德巴赫猜想是由德国数学家哥德巴赫（Goldbach•C）提出来的。其主要有两个部分：第一部分是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，即“1＋1”；第二部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
例如，4＝2＋2，10＝3＋7和10＝5＋5等，4和10都是大于等于4的偶数，2、3、5和7都是素数；又例如7＝2＋2＋3，15＝2＋2＋11和15＝3＋5＋7等，7和15都是大于等于7的奇数，2、3、5、7和11都是素数。
这样的例子可以举得很多，但再多也不能把猜想变成定理，因为你不可能把所有的偶数都验证完。有人一直验算到了3.3亿以内的所有偶数，发现猜想都是正确的，可谁能保证比3.3亿还要大的偶数，猜想还能是正确的呢。人的生命是有限的，不可能从头到尾验证所有的偶数和奇数，那么要说明猜想的正确与否，除了从理论上给以证明外，再就没有别的途径可走了。
哥德巴赫猜想还有另外一种说法如下：
（1）任何大于等于6 的偶数都是两个奇素数的和，这是第一部分，如10＝3＋7和18＝7＋11，10和18都是大于等于6的偶数，3、7和11都是奇素数；
（2）任何大于等于 9的奇数都是三个奇素数的和，这是第二部分，如15＝3＋5＋17和25＝3＋5＋17，15和25都是大于等于9的奇数，3、5和17都是奇素数。

5、1742年哥德巴赫提出猜想

哥德巴赫是一位德国数学家，生于1690年，从1725年开始当选为俄国彼德堡科学院院士。在那里，他结识了大数学家欧拉，两人书信来往达三十多年。1742年，哥德巴赫在一封给欧拉的信中写道：“任意一个奇数，例如77，可以分解成3个质数的和：77＝53＋17＋7；再任意取一个奇数461，有461＝449＋7＋5；461还可以再分解为另外3个质数的和：461＝257＋19＋5，如此等等。现在我对此已十分清楚：任意奇数都可以分解成３个质数之和。但是如何证明呢？……”，这就是哥德巴赫猜想的原始陈述。
但欧拉也无法证明，他却认为这个猜想是完全正确的。欧拉在回信中敏锐的指出这个猜想可进一步叙述为：“从４开始，任意偶数都可以分解成两个质数的和。”
这就是数学家们迄今仍在努力证明的哥德巴赫猜想。也有人叫它“欧拉猜想”。从猜想提出至今的二百七十多年里，证明该猜想的工作实质上没有取得任何进展。

6、所谓猜想第二部分的证明

1922年英国数学家哈代（Hardy•G•H）与李特伍德（Littlewood•J•E）提出了一个“圆法”，1937年的时候，苏联数学家依•维纳格拉道夫（Виногрдов•И•М）就应用了圆法，结合他自己创造的“三角法”和估计的方法，证明了每个充分大的奇数都是三个素数之和，基本上证明了哥德巴赫猜想的第二部分。这个结论也存在着问题，“每个充分大的奇数”并不等于就是“每个奇数”或“任何奇数”，再一个是他用的方法是“估计法”，本身就不太科学，也不严密。所以说要想证明该猜想时，一定要想到的是“任意的”，而不只是“充分大的”，所用方法必须是科学的，严密的。

下一节开始还要专门谈到历史上对哥德巴赫猜想的证明。

（三）

历史上对哥德巴赫猜想的证明

7、所谓“m＋n”思想的形成

世界上的数学家们对证明哥德巴赫猜想是否正确，是下了不少功夫的。
为了寻求证明哥德巴赫猜想的方法，1920年，挪威数学家布朗（Brown）改进了古老的“筛法”，证明了每个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的正整数之和，即每一个比2大的偶数都可以表示成“9＋9”。这里的“9”只是一个记号，它表示一种数，这种数可以分解成几个质数的乘积，而这些质数的个数不会超过9。“9＋9”就是两个这样的数相加的意思。这就是所谓“m＋n”法。m和n与上面的“9”一样，也只是一个记号。
证明了“9＋9”有什么作用呢，布朗想：既然一下子证明不出哥德巴赫猜想，那么不妨步步为营，采取逐步缩小包围圈的办法来解决它。如果能从证明“9＋9”开始，以后逐渐减少每个数里所含的质数因子的个数，直到最后使每一个数里都是一个质数为止，即m和n都成为1时，这不就证明了哥德巴赫猜想吗？
布朗的这种想法看似合理，但仔细想一下，它还是与哥德巴赫猜想的原命题是有一定的距离的，或者说根本就不是一回事。猜想就是“1＋1”，他却硬要弄出一个“9＋9”，即“m＋n”，这是不合适的。

8、“m＋n”国际智力接力赛

挪威数学家布朗首先证明了“9＋9”，迈出了“m＋n”国际智力接力赛举足轻重的第一步。后来，全世界各国的数学家们就紧跟了上去，展开了一场国际性的“m＋n”智力接力赛。
1920年，挪威数学家布朗证明了“9 + 9”；
1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7＋7”；
1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6＋6”；
1937年，意大利数学家蕾西先后证明“5＋7”，“4＋9”，“3＋15”和“2＋366”；
1938年，苏联数学家布赫夕塔布证明了“5＋5”；
1940年，苏联数学家布赫夕塔布又证明了“4＋4”。
在证明哥德巴赫猜想的“m＋n”国际智力竞赛中，我国数学家们取得了领先的地位：
早在1938年，我国著名数学家华罗庚就曾经过证明得出：“几乎全体偶数都能表示成两个质数的和”；
1948年，匈牙利数学家瑞尼证明了“1＋c”，其中c是一个很大的自然数；
1956年，我国数学家王元证明了“3＋4”；
同一年，苏联数学家依•维纳格拉道夫又证明了“3＋3”；
第二年，1957年，王元又证明了“3＋3”和“2＋3”。

（未完，接下贴）

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,