集合论与哥德巴赫猜想（二）

雷明85639720

（接上一贴）

科普读物
集合论与哥德巴赫猜想（二）
雷明编著
（二○一七年八月二十五日）


接力赛不断地朝着最终目标“１＋１”前进。这里的“１”也只是一个记号，它表示是一个质数。“１＋１”的意思是两个质数的和。所以以后人们就用“１＋１”来表示哥德巴赫猜想。但到1962年以前为至，在相加的两个数中，还没有一个可以肯定是素数的。
1962年，我国数学家潘承桐与苏联数学家巴尔巴恩各自独立的证明了“1＋5”；
1963年，潘承桐，王元，巴尔巴恩又都证明了“1＋4”；
1965年，苏联数学家依•维纳格拉道夫、布赫夕塔布与意大利数学家朋比尼又都证明了“1＋3”；
1966年5月，我国数学家陈景润在对筛法作了新的重要改进之后，证明了“1＋2”，取得了迄今世界上“m＋n”国际智力接力赛的最好成绩。
陈景润的结论是：“任何一个充分大的偶数，都可以表示成为2个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是2个素数的乘积。”这是目前“ｍ＋ｎ”国际智力接力赛所取得的最好成绩。注意，就连这个“最好成绩”“1＋2”结论的前面也不是冠以任意偶数的，而只是说“任何充分大的偶数”。
有人说，现在离证明“1＋1”只差一步之遥了，可这“一步之遥”却是无法迈出的。这充分说明了“m＋n”与“1＋1”完全是两回事。
1973年，陈景润的论文发表以后，在国际数学界引起了强烈反响。一位英国数学家写信给陈景润，称赞他“移动了群山”。
从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，经过了46年时间，可从陈景润到现在已有51年又过去了，对哥德巴赫猜想的研究却毫无任何进展。
尽管陈景润取得了这样的好成绩，但到目前为止，还没有一个证明的结论是冠以“任意的偶数”头衔的。

以上的“m＋n”的思想不能说是完全错误的，但起码它与哥德巴赫猜想的原意是不相符的。哥猜原意是“任意”大于等于4的偶数都是“两个”素数之和，没有说是m个素数的积与另外n个素数的积之和，更不是说充分大的偶数等等。所以说到目前为止，以前的证明都不能算作真正是在对哥德巴赫猜想的证明，因为他得出的结论就不是哥德巴赫猜想的原命题。

9、最终攻克“1＋1”

本书作者在研究四色问题的基础上，看到哥德巴赫猜想不光只是一个数论中的问题，也是一个无穷集合中的问题，应该从集合论的观点出发解决这一问题。
哥德巴赫猜想说的是任何一个大于等于4的偶数都可以写成两个素数的和，以前人们都是顺着这个思路，企图证明一个充分大的偶数是不是都是两个素数的和。现在我们是不是可以改换一下思维方式，进行一下反向思维呢。因为素数是有无穷多个的，所以任何两个奇素数的和都是大于等于6的偶数，从而用所有奇素数两两相加，包括自身相加的一次在内，来证明所得到的无穷多个偶数是不是完全包括了所有大于等于6的所有偶数。如果是，则猜想就是正确的，否则猜想就不正确。
在这里作者要研究的不是一个一个的单个偶数，而是一个所有偶数的集合的整体。1994年以后，作者利用集合论中集合的概念，可数集合的性质，集合的等势，集合的运算等，首先证明了“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”，再由于２＋２＝４，便得到“任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”的结论，证明了猜想的第一部分是正确的；再经过讨论，进一步证明了“任何大于等于7的奇数都是三个素数的和”的结论，这就是猜想的第二部分。“1＋1”被攻克，哥德巴赫猜想被最终得到证明是正确的。

由于作者对可德巴赫猜想的证明是采用集合论的方法，所以就从下一节开始，要对集合论方面的简单知识进行一下介绍。

（四）

集 合 论 简 介

10、集合论与集合

研究集合的数学，就叫集合论。集合论是现代各门数学的真正基础。它是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要的数学分支，是真正的数学理论。集合论，在数学中是关于无穷集合和超穷数的数学理论。集合论起源于德国数学家康托（Cantor•G ），他是为了回答整数是否比偶数多和矩形面中的点是否比边（线段）上的点更多而提出了集合的概念，结果惊人的发现，偶数和整数一样多，矩形面中的点与边上的点一样多。
集合的概念是一种最基本的概念，只能给予描述，而不能给予定义。数学的任何部门，都是研究具有某种共同性质的事物，比如代数中的数、矩阵，几何中的点、直线等。于是就把若干（有穷或无穷多）个具有某种共同性质的事物的全体，叫做一个集合（有时简称为集），而具有某种共同性质的事物的个体，叫做这个集合的元素（有时也简称元）。
如全体自然数，就是一个自然数集合，每一个自然数都是它的元素。同样的，还有整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合，素数集合等，其中每一个整数，有理数，实数，复数，素数分别都是它们的元素。
还有由“鸡，鸭，鹅，马，牛，羊，猪，狗，猫”等构成的家畜集合；由“鼠，牛，虎，免，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪”等构成的十二生肖集合；由“甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸”构成的天干集合；由“子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥”构成的地支集合；26个英文字母“A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z”构成的英文字母的集合；一个平面中所有的点的集合；一条线段或者一条直线中所有的点的集合等也都是集合。
元素是数的集合，叫做数集合，也叫做数集。以上的自然数集合，整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合，素数集合都是数集合。小于10的所有自然数构成的集合和50至100间的自然数构成的集合，以及第1节《什么是素数》中列举出的500以内的素数构成的集合等也都是数集合。
集合论中通常用大写的英文字母A，B，C，……等来表示集合，用小写的英文字母a，b，c，……等来表示集合中的元素。
如果说一个集合是A，那么它里面的元素就用a1，a2，a3，……等表示。
元素与集合之间的关系是一个从属的关系。任意一个元素，对一个集合来讲，或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。对于上述的集合A，a1是A的一个元素，即a1属于A；而b则不是A的一个元素，即b不属于A。用符号“∈”代表“属于”二字，并读作“属于”，那么a1属于A就可以写成a1∈A。

11、集合的分类

集合常按其中的元素是否是数，而分为一般集合与数集合；按其中的元素是否有限而分为有限集合与无限集合（也叫无穷集合）；按其中的元素是否可以数数，或者可以按一定的规则进行编号，与自然数集合形成一一对应的关系而分为可数集合（也叫可列集合）与不可数集合（也叫连续集合）。有限集合一定是可数的集合，连续集合一定是不可数的集合。与自然数集合N有一一对应关系的集合既是无穷集合，也是可数集合。集合的分类如图1。

上一节中的家畜集合，十二生肖集合，天干集合，地支集合，英文字母集合，小于10的所有自然数构成的集合和50至100间的自然数构成的集合，以及第1节《什么是素数》中列举出的500以内的素数构成的集合等都是有限集合，也是可数集合。而自然数集合，整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合，素数集合，一个平面中所有的点的集合，一条线段或者一条直线中所有的点的集合都是无穷集合。其中自然数集合，整数集合，有理数集合，素数集合是属于可数集合。其中的元素可以按一定的规则编号，与自然数集合形成一一对应的关系，但又是无穷集合；而实数集合，复数集合，一个平面中所有的点的集合，一条线段或者一条直线中所有的点的集合则是连续的无穷集合。

12、集合的描述方法

所谓给出一个集合，就是规定了这个集合是由哪些元素构成的，并且，对于任意一个元素都能判定它是否是这个集合的元素。是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。
给出一个集合，通常有这几种描述的方法：
（1）列举法：就是把集合中所有的元素都列举出来，但必须把所有元素用花括号｛ ｝括起来。元素是有穷个数的有限集合往往用列举法描述。如第10节中的家畜集合，十二生肖集合，天干集合，地支集合，英文字母集合就是这种描述的。又如10以内的自然数构成的集合
    A＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝
以及第1节《什么是素数》中列举出的500以内的素数的集合都是用列举法描述的。
（2）解析法：也叫描述法。就是用一个解析式来描述集合里的元素的共同特征性质。解析式也必须用花括号｛ ｝括起来。元素不能用解析式描述的，可以用文字来描述其共同的特征。元素是无穷多个的无穷集合，往往就用解析法描述。如自然数集合N，偶数集合Y，素数集合S，分别可描述如下：
    N＝｛x│x是所有自然数｝
    Y＝｛x│x是所有的偶数｝
    S＝｛x│x是所有的素数｝
又如由不等式x2－3x－4＞0的解构成的集合B可描述成：
        B＝｛x│x2－3x－4＞0｝
即B是由满足不等式x2－3x－4＞0的一切x所构成的集合。
一般的，P由具有特征性质p（x）的元素x所构成的集合，记为
    P＝｛x│p（x）｝
p（x）能不能用一个解析式子表示出来是无关紧要的。
无穷集合虽不能把它的元素一一列举出来，但可以用省略号“……”来代替，因此，无穷集合有时也用列举法来描述。如自然数集合N，也可以描述成
    N＝｛1，2，3，……｝
某些有限集合，有时只知道其元素所具有的特征性质，也可采用解析法来描述。比如
    M＝｛x│x2－3x＋2＝0｝
当方程x2－3x＋2＝0还没有求出解之前，只好用解析法描述。
把一个方程（组）的所有解构成的集合，叫做这个方程（组）的解集。比如M＝｛1，2｝就是方程x2－3x＋2＝0的解集。
（3）图示法：在一个距形匡内，用一个圆圈代表集合，圆圈内写上集合名称，如A，B等，也可以直接标出元素来，如图2。这种图叫做维恩（Venn）图。

集合里若干个相同的元素，只能算作一个，也只用一个符号表示出来。比如M＝｛1，1，1，2｝，元素1在集合M里出现了三次，但元素1只能算作集合M的一个元素，通常写成M＝｛1，2｝，这就是说，集合里的元素是不重复出现的。在集合的概念里，是不考虑元素的是顺序的，这与数列是不同的。数列中的数是按一定的规则有序的排列的，而集合中的元素是无序的。比如集合M＝｛1，2｝，也可以描述成M＝｛2，1｝。

13、两个集合的相互关系

在讨论具有某种共同特征性质的事物所组成的集合时，把具有这种共同特征性质的一切事物所组成的集合，叫做全集合，简称全集，记为1。这样，上一节谈到的集合的图示法描述中，维恩图中的距形匡就表示是一个全集。而把不包含任何元素的集合，叫做空集合，简称空集，记为Φ或0。
1、包含关系：
包含关系是说一个集合A的元素都是另一个集合B的元素，但另一个集合B的元素却并不一定也都是这个集合A的元素。这一关系在维恩图中是两个套在一起的大小圆圈，或者是两个重合在一起的圆圈。其中小圆圈表示的集合包含于大圆圈表示的集合。如图3就表示B包含A，或A包含于B。

子集合：集合A的每一个元素都是集合B的元素，就说A 是B的子集合。即Ａ包含于Ｂ，或叫Ｂ包含Ａ。一个集合的子集合，有时也简称子集。
空集合是任意集合的子集合。任意集合是全集合的子集合。任意集合也是它自身的子集合。
真子集合：集合A是集合B的子集合，且B里至少有一个元素b不属于A，就说集合A是集合B的真子集合。或者说A 包含于B，但A却不包含B，则A为B的真子集合。维恩图是两个套在一起的一大一小的两个圆圈，小圆圈是A，大圆圈是B，如图3。如50以内的自然数集合是100以内的自然数集合的真子集合。若集合A里至少有一个元素a不属于B，就说A不是B的子集合。但集合A不是集合B的子集合，并不排斥集合B是集合A的真子集合。
相等的两个集合：集合A是集合B的子集合，集合B又是集A的子集合，亦即集合A与集合B所包含的元素完全相同，就说集合A等于集合B，即A＝B。或者说A包含于B，且A也包含B，则A，B两集合相等（A＝B）。维恩图是两个相互重合在一起的圆圈，A 和B分别都是这一个圆圈，如图4。

2、不相关的：
任意两个集合，也不一定都存在包含关系，甚至有两个集合的元素就是性质完全不同的两类事物。两个集合不但互不包含，而且也没有一个元素相同，这样的两个集合就是不相关的。维恩图是两个互不相接连的圆圈。如天干集合、地支集合与英文字母集合就是不相关的三个集合，如图5。
3、相交关系：
两个集合虽互不包含，但又有相同的元素，这样的两个集合就是互相相交的。维恩图是两个相交在一起的圆圈。如十二生肖集合与前面提到的家畜集合，就是两个有相交关系的集合。两个集合中均有“马，牛，羊，鸡，狗，猪”六个元素是相同的，这六个元素位于两个园相交的部分（如图6）。

14、集合的运算

1、集合的并（并集）：
设A和B是两个集合，则属于A或（和）属于B的所有元素所组成的集合，叫做A 与B的并集，用A∪B表示（“∪”读作“并”）。维恩图表现为对两个集合的圆圈内都打上斜线，如图7。若A是由1、2、3、4、5、6六个自然数构成的集合，B是由6、7、8、9、10五个自然数构成的集合，则A∪B就是由1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十个自然数构成的集合。求并集的运算称为并运算。A 是该并集A∪B的子集合，B 也是该并集A∪B的子集合，该并集A∪B是包含A 、B的最小集合，即任一个包含A、B的集合，必定包含该并集A∪B。对于任意一个集合A有：A∪A＝A，A∪1＝1，A∪0＝A。并运算满足交换律和结合律：A∪B＝B∪A，（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）。并运算有时也用“＋”号来表示。设A、B是两个集合，则A包含于B的充分与必要条件为A∪B＝B。包含关系与并运算在一定条件下，可以相互转化。可以用A∪B＝B作为A是B的子集合的定义。

2、集合的交（交集）：
设A和B是两个集合，则属于A且属于B的所有元素所组成的集合，叫做A 与B的交集，用A∩B表示（“∩”读作“交”）。维恩图表现为只对两个集合的圆圈相交的部分内打上斜线，如图8。同样的，若A是由1、2、3、4、5、6六个自然数构成的集合，B是由5、6、7、8、9、10六个自然数构成的集合，则A∩B就是由5和6两个自然数构成的集合。求交集的运算称为交运算。A∩B既是A的子集合，同时又是B的子集合，并且A∩B是包含在A中，同时也是包含在B中的最大子集合。任意一个集合既是A的子集合，同时又是B的子集合时，那么，它一定也是A∩B的子集合。对于任意一个集合A有：A∩A＝A，A∩1＝A，A∩0＝0。交运算满足交换律和结合律：A∩B＝B∩A，（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）。交运算有时也用“• ”号来表示。设A、B是两个集合，则A包含于B的充分与必要条件为A∩B＝A。包含关系与交运算在一定条件下，也可以相互转化。可以用A∩B＝A作为A是B的子集合的定义。
3、集合的差（差集）：
设A和B是两个集合，则属于Ａ但不属于Ｂ的所有元素组成的集合，叫做Ａ与Ｂ的差集，用Ａ－Ｂ表示，有时也用A / B表示（“－”和“/”均读作“差”）。 Ａ－Ｂ实际上就是（Ａ∪Ｂ）－B，即Ａ－Ｂ中的元素是A和B共同有的元素再除去B中元素以外的元素。维恩图表现为对A、B两个集合的圆圈相交以外的集合A中的部分打上斜线，如图9。同样的，若A是由1、2、3、4、5、6六个自然数构成的集合，B是由5、6、7、8、9、10六个自然数构成的集合，则A / B就是由1、2、3、4四个自然数构成的集合。求差集的运算称为差运算。是Ａ的子集合，即Ａ－Ｂ包含于A；Ａ－Ｂ与Ｂ没有公共元素，即（A－B）∩Ｂ＝０。对于任意一个集合A有：A－A＝０，A－０＝Ａ。差运算不满足交换律和结合律。
定理：设A、B是两个集合，则A包含于B的充分与必要条件为A－B＝0。由此可知，包含关系与差运算在一定条件下，也可以互相转化。所以可以用A－B＝０作为Ａ是Ｂ的子集合的定义。
A B，A∪B＝B，A∩B＝A，A－B＝0中任两个式了都互为充分与必要条件，后三个式子都可作为A是B的子集合的定义。
又一定理：设A、B是两个集合，则A∩B＝0的充分与必要条件为A－B＝A。同样也有：设A、B是两个集合，则A∩B＝0的充分与必要条件为B－A＝B。于是A∩B＝0，A－B＝A，B－A＝B中任两个式了都互为充分要条件。

4、集合的补（补集）：
补集是一种特殊的差集。
设Ａ是一个集合，则差集１－Ａ称为Ａ的补集，用１－Ａ表示。维恩图为对某集合圆圈以外的部分打上斜线，如图10。如果A是由1到10的十个自然数构成的集合，则补集１－Ａ就是除去1到10的十个自然数以外的其他所有的大于10的自然数构成的集合。求补集的运算称为补运算。对于任意一个集合A有：Ａ∪（１－Ａ）＝１，Ａ∩（１－Ａ）＝０，１－（１－Ａ）＝Ａ，１－０＝１和１－１＝０。差运算不满足交换律和结合律。因有１－（１－Ａ）＝Ａ，所以补集的补集仍是原集合，或叫二次互补律。差运算与交、补运算在一定条件下也是可以互相转化的。
5、分配律：
交运算对并运算的分配律：（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）；
并运算对交运算的分配律：（Ａ∩Ｂ）∪Ｃ＝（Ａ∪Ｃ）∩（Ｂ∪Ｃ）。

15、对应与函数

对应与函数是研究一个集合的元素与另一个集合的元素间的关系的方法。
1、对应：
对应概念与集合概念一样，也是一个基本概念，只能给予描述而不能给予定义。设M和N是两个集合，若某一法则（规则）φ使得M里的每一个元素a，都能找到N里的唯一确定元素a‘ ，则这个法则φ称为集合M到集合N的一个对应。a‘ 称为a的像，常用φ（a）表示，a称为a‘ 的原像。
从集合M到集合N的对应φ，常记为
φ：    a  a‘＝φ（a）
其中a∈M，a‘∈N。若法则a‘  a是N到M的一个对应，则称这个对应为φ的逆对应。记为φ－1，即
φ－1：    a‘  a＝φ－1（a‘）
其中a‘∈N，a∈M。
可见φ与φ－1互为逆对应，即
（φ－1）－1＝φ
对于法则φ，若集合M里的不同元素，在集合N 里都有不同的、唯一的、确定的像，则称φ为M 到N 的一个一一对应。有穷集合不能与其真子集合建立一一对应，但无穷集合却能与其真子集合建立一一对应。这是有穷集合与无穷集合互相区别的特征性质。比如自然数集合就与偶数集合有一一对应的关系，而在这里偶数集合的确是自然数集合的一个真子集。
设φ为M到N的一个对应，有逆对应φ－1存在的充分与必要条件是φ为M到N的一个一一对应。若φ为M到N的一一对应，则φ－1为N到M的一一对应。
2、函数：
设M和N是两个集合，若f是从M到N的对应，则称f为定义在M上的一个函数。记为
f ：     x  y＝f（x）（x∈M，y∈N）
M叫做函数y＝f（x）的定义域，y叫做函数值。函数y＝f（x）的所有函数值组成的集合，叫做这个函数的值域。
显然，函数y＝f（x）的值域是N的子集合。
在函数的概念中，最主要的是对应法则和定义域，其值域是由定义域和对应法则确定的。至于对应法则能否用公式来表示，那也是无关紧要的。
设y＝f（x）是定义在集合M上的函数，N为它的值域。若有f的逆对应f －1存在，则f －1所确定的函数叫做y＝f（x）的反函数。记为x＝f －1（y）。
一般的，用y表示函数，上面的反函数记号就应改写为
    y＝f －1（x）
显然，若y＝f －1（x）为y＝f（x）的反函数，则y＝f（x）也为y＝f －1（x）的反函数。即二者互为反函数。
一个函数若有反函数，则两者的对应互为逆对应，一者的定义域是另一者的值域。

16、两个集合等势

1、两集合等势：
设A、B是两个集合，若存在A到B的一一对应，则称A与B等势（等浓度、对等、等价），记为A～Ｂ（“～”读作“等势于”，A～B读作A等势于Ｂ）。
集合等势有以下性质：
（1）反射性，A～Ａ，即任一个集合A与它自身等势；
（2）对称性，若Ａ～Ｂ，则Ｂ～Ａ，若集合A与集合B等势，则集合B与集合A等势；
（3）传递性，若Ａ～Ｂ，Ｂ～Ｃ，则Ａ～Ｃ，若集合A与集合B等势，集合B与集合C等势，则集合A与集合C等势。
集合Ａ到它自身的对应ｘ ｘ（ｘ∈Ａ）称为恒等对应。
2、集合的势：
根据集合等势的定义，可以对集合进行分类，把等势的集合作为一类，任一个集合属于一类且仅属于一类。
由等势关系将集合分类，两个集合等势，并且只有当它们等势时，才属于同一类，给每一类对应一个记号，这个记号就称该类中任一个集合的势。
对于任意的非空有穷集合A，可以对它的元素进行编号。这实际上就是集合A到自然数1到n的一个一一对应。等势的非空有穷集合组成一类，这个类的所有集合的元素个数都是相等的。
对于非空的有穷集合，它的势就可以看作是它的元素的个数。非空的有穷集合A的势用n（A）表示。
为了方便，空集合Φ可视为有穷集合，并规定它的势为0，于是有n（Φ）＝0。
设A、B为有穷集合，则n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）。
例：某个学生班有20名运动员要参加学校的田径运动会，其中田赛运动员13 名，径赛运动员12名。现在要问：既参加田赛又参加径赛的运动员有是几名。
解：        令A＝｛参加田赛的运动员｝
B＝｛参加径赛的运动员｝
那么           A∪B＝｛全体参加运动会的运动员｝
               A∩B＝｛既参加田赛又参加径赛的员｝
于是有         n（A）＝13，n（B）＝12，n（A∪B）＝20
求n（A∩B）＝？
因此           n（A∩B）＝n（A）＋n（B）－n（A∪B）
               ＝13＋12－20＝5
答：20名运动员中既参加田赛又参加径赛的运动员有5名。

17、两哦类无穷数集合

    以下所谈到的两种集合均属于无穷集合。
1、可数集合：
可数集合也叫可列集合。这里所说的可数集合也就是可列的无穷集合。
自然数集合是最简单的无穷集合。若集合Ａ与自然数集合Ｎ等势，即Ａ～Ｎ，则称Ａ为可数集合。因为自然数集合Ｎ有Ｎ～Ｎ，可知自然数集合是可数集合。如偶数集合，奇数集合，素数集合等都与自然数集合一样，是可数集合。
若Ａ、Ｂ为可数集合，则A～Ｂ，因此，所有可数集合组成一个类，这个类里的集合的势都是相同的，用α表示。所有可数集合的势都是α。
集合A为可数集合的充分必要条件是可以把A中的元素编号为
    A＝｛a1，a2，……，an，……｝
的形式。这实际上就是可数集合到自然数集合的一个一一对应。数集合里的这种一一对应，是严格的遵守一定的法则的，这就是函数关系。
可数集合的任何无穷子集合是可数集合。可数集合与它的有穷子集合的差集是可数集合。有穷集合与可数集合的并集仍为可数集合。一个有穷集合与一个可数集合的并集仍为可数集合。有限个有穷集合与一个可数集合的并集仍为可数集合。任何可数集合，必定会有可数真子集合。两个可数集合的并集仍为可数集合。有限个或可数个可数集合的并集仍为可数集合。有理数集合是可数集合。自然数集合，整数集合，奇数集合，偶数集合，素数集合，奇素数集合等都是可数集合。有穷集合也是可数集合。
2、连续集合：
连续集合是一个不可数集合。不是可数的无穷集合叫做不可数集合。可以证明开区间（０，１）是不可数集合。把开区间（０，１）的势记为ｃ。势为ｃ的集合，叫做连续集合。连续集合的势均为ｃ。
实数集合的势为ｃ，是一个连续集合。实数集合包含有可数集合，如自然数集合，整数集合，有理数集合等等。可以征明任意一个无穷集合，都包含着可数子集合。数轴上任一个小的区间都是一个连续集合。
有理数和无理数统称为实数。有理数集合是可数集合，实数集合是连续集合。但由实数连续集合包含着有理数可数集合，则实数集合与有理数集合的差集仍是连续集合。这个差集就是无理数集合，所以无理数集合也是连续集合。于是，所有的无理数把数轴分成了ｃ个半开区间，实数集合就等于这些半开区间的并集。
设Ｂ为无穷集合，Ａ为有穷集合或可数集合，则并集Ｂ∪Ａ与Ｂ等势（Ｂ∪Ａ～Ｂ）。设Ｓ为一个不可数集合，Ａ是Ｓ的有穷子集合或可数子集合，则差集Ｓ－Ａ与Ｓ等势（Ｓ－Ａ～Ｓ）。这就是说，从不可数集合中除去一个有穷集合或可数集合，并不改变它的势。故任一个不可数集合必含有与它自身等势的真子集合。
3、无穷集合：
若集合包含有与它自身等势的真子集合，则称这个集合为无穷集合。可数集合与连续集合都是无穷集合。而不是无穷集合的集合，称为有穷集合。

18、素数是一个可数集合

因为素数有无穷多个（欧几里德和欧拉早已证明了素数有无穷多个），所以素数集合S是一个无穷集合。
又因为素数集合S又是可数集合——自然数集合Ｎ的子集合，所以素数集合S也是可数集合（定理：可数集合的任何无穷子集合是可数集合）。
又因为素数集合S的子集合Ｙ＝｛2｝是有穷集合，所以素数集合S与Y的差集X＝S－Y，即奇素数集合Ｘ也一定是可数集合（定理：可数集合与它的有穷子集合的差集是可数集合）。

这就是我们在第3节《素数有无穷多个》一节中所留下的第四种证明素数有无穷多个的方法，是用集合论的方汪进行证明的。

（未完，接下贴）

雷明85639720

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川广棒iz:你在胡闹什么嘛。

雷明85639720

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