[原创] 广义圆锥曲线的三个系列问题之一：广义椭圆系列问题

APB先生 · 发表于 2011-8-11 06:41

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广义椭圆系列问题：
（一）一动点到三定点的距离之和为定值，求动点的标准方程和图像。
（二）一动点到四定点的距离之和为定值，求动点的标准方程和图像。
………………………………………………………………………………，

（N）一动点到 N 个定点的距离之和为定值，求动点的标准方程和图像。

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drc2000 · 发表于 2011-8-11 09:07

我也曾经考虑过此问题,似乎十分复杂...
鉴于"三定点"位置不固定,所以需要定义什么叫"标准方程".
(两点还好办,取连线做x轴,其中垂线做y轴)
三点就不好办了...

drc2000 · 发表于 2011-8-11 09:17

我们不妨把这些定点就叫焦点.
当三个焦点为(-1,0),(0,0),(1,0)时候
到这三点距离和为15的曲线如下图红线

部分曲线由于误差累计呈现尖角,实际应该是光滑的)

APB先生 · 发表于 2011-8-11 21:31

下面引用由drc2000在 2011/08/11 09:07am 发表的内容：
鉴于"三定点"位置不固定,所以需要定义什么叫"标准方程".
(两点还好办,取连线做x轴,其中垂线做y轴)
三点就不好办了...

luyuanhong · 发表于 2011-8-12 18:54

第 3 楼中 drc2000 的图像有问题，下面是我用自编程序画出的图像：

drc2000 · 发表于 2011-8-12 22:05

下面引用由luyuanhong在 2011/08/12 06:54pm 发表的内容：
第 3 楼中 drc2000 的图像有问题，下面是我用自编程序画出的图像：

教授所言极是,当我看到图象过原点,自己当时就觉的"怪怪的",当时就不敢确定是否正确……总觉的似乎应该是常见的类似地图等高线（无悬崖）的图象……谢谢……

kanyikan · 发表于 2011-8-12 22:23

3个焦点如果不在一条直线上（如正三角形的3个顶点）会这样？
drc2000或陆教授能否给大家奉献点精彩？

drc2000 · 发表于 2011-8-12 23:44

下面引用由kanyikan在 2011/08/12 10:23pm 发表的内容：
3个焦点如果不在一条直线上（如正三角形的3个顶点）会这样？
drc2000或陆教授能否给大家奉献点精彩？

三焦点问题，还是比较有趣的。
设正三角形边长为a，动点到三焦点距离和为分别为1.82a、2.55a、2.95a、6.08a的图象如下面的几张截图中的红色曲线：
1.82a

总体感觉距离和越大,曲线越接近圆
距离和越小,越接近三角形.
当距离和为2a时候,曲线过三焦点(特殊情况)
...

kanyikan · 发表于 2011-8-13 08:14

十分感谢，有待仔细研究。

APB先生 · 发表于 2011-8-13 10:41

[这个贴子最后由APB先生在 2011/08/13 10:46am 第 1 次编辑]

非常感谢陆教授的关注和给出详细的方程与图像；确实，我第一次看到 drc2000 老师三楼的图时也纳闷：怎么画出两个闭曲线？后来画出的 8 楼的三个图应该无问题。
非常感谢 drc2000 老师关注本贴并作图多幅。
感谢 kanyikan 网友关注本贴。
还望各位向四焦点的广义椭圆，……，等其它问题进行研究或探讨。

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