[原创] 平面几何的系列作图问题：五线八角问题，六线九角问题，……

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/08/14 09:40am 第 1 次编辑]

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五线八角问题：用五段直线画出八个三角形？
六线九角问题：用六段直线画出九个三角形？
…………………………………………
M 线 N 角问题：用 M 段直线最多可以画出多少个三角形？（这问题我解决不了，请网友帮助。）

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drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/08/14 08:54am 第 1 次编辑]

下面引用由APB先生在 2011/08/14 07:47am 发表的内容：
..."三角形角"...

三角形角是什么概念?
叙述问题的时候,不妨配个图,再举个简单的例子加以说明.

APB先生

感谢 rc2000 老师顶贴，是我在一楼多打了一个“角”字，已删掉。

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/08/15 06:30am 第 2 次编辑]


N 段直线最多可以划出 1.5(N-3)(N-2)+1 个三角形。初步推出此公式，还有待证明。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/08/15 06:20pm 第 2 次编辑]

n条直线最多可以围多少个三角形?
解:一个三角形有三条边,每边均在一条直线上,
   n条直线最多可围成的三角形个数既从n条直线中取3条直线的组合数.
   既n条直线最多可以围Ｃ(n,3)=n(n-1)(n-2)/6个三角形
特别地:当n=1,2时三角形个数为0
       当n=3时,三角形个数为1
       当n=4时,三角形个数为4
       当n=5时,三角形个数为10.
以上结果与1.5(N-3)(N-2)+1结论相同.
但当n=6时候,Ｃ(6,3)=6*5*4/6=20
而1.5(N-3)(N-2)+1=1.5*3*4+1=19
结果不同.
可以直接直接画图验证,也可以采取列举法验证
设直线名依次为1,2,3,4,5,6
1,2,3可组成一个三角形.不妨简记为123,
这样所有三角形为:
123,124,125,126
134,135,136
145,146
156.以上10个
234,235,236
245,246
256.以上6个
345,346
356.以上3个
456.以上1个
总计20个

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/08/15 10:21pm 第 1 次编辑]


我 4 楼的公式可能是错误的。6 条直线确实最多可以围成 20个三角形。
可是当 n=5 时，即 5 条直线却可以围成 8 个三角形；而 5*4*3/6=10。还是有问题。
当直线数目较多后，去数三角形的总个数很不易。

drc2000

即 5 条直线最多可以围成 10 个三角形
五条直线中,任意取三条,均可以组成一个三角形.所以最多可组成C(5,3)=5*4*3/6=10个三角形.
其实直接点也不难...
仿5楼,他们是:
123,124,125
134,135
145
234,235
245
345
一共十个.

luyuanhong

下面引用由drc2000在 2011/08/15 11:14pm 发表的内容：
即 5 条直线最多可以围成 10 个三角形
五条直线中,任意取三条,均可以组成一个三角形.所以最多可组成C(5,3)=5*4*3/6=10个三角形.
其实直接点也不难...
仿5楼,他们是:
123,124,125
134,135
145
234,235
245
345
一共十个.

楼上说得对，下面是图像：

APB先生

感谢陆教授和 rc2000 老师，我少数了俩个。

APB先生

设 n 大于 3，用 n 条直线可以围成面积都相等的多边形吗？如果可以，最多可以围成多少个等面积多边形？