【趣题征解】证明：对任何素数 p ，必有 k ,使得 kp 的最后 10 位是 9876543210

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/07/01 03:58pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：对任何素数 p ，必有 k ,使得 kp 的最后 10 位是 9876543210 。
例如，p＝2 时，有 k＝4938271605 ，kp＝4938271605×2=9876543210 。
      p＝3 时，有 k＝3292181070 ，kp＝3292181070×3=9876543210 。
      p＝5 时，有 k＝1975308642 ，kp＝1975308642×5=9876543210 。
      p＝7 时，有 k＝5696649030 ，kp＝5696649030×7=39876543210 。
      p＝11 时，有 k＝5443322110 ，kp＝5443322110×11=59876543210 。

wangyangkee

胡思乱想------
题目的实质是1,3,7,9与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9积中可以根据需要拟合出个位上为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的数来；个位完成拟合后，高位再仿个位再拟合；这种拟合，可以逐步确定k的个位、十位、百位、，，，

天山草

陆教授的这个问题很好，有些意思。
对此问题，本人已经有了一个初步的思路。
华罗庚说过，若是对于一个问题没有办法解决，可以先把它简化、简化、再简化，直至不能再简单为止，这时先动手解决这个“最简单的问题”。
对于陆教授的这个问题，先简化为下述问题：
证明：对于正整数 4， 不可能找到一个正整数 k ,使得 4k 的最后 10 位是 9876543210。

天山草

证明：对于正整数 4， 不可能找到一个正整数 k ,使得 4k 的最后 10 位是 9876543210。
假定存在这样一个正整数 k，能够满足 4k 的最后 10 位是 9876543210，则下列不定方程应当有正整数解：
   10000000000 n + 9876543210 = 4k
  也就是 2500000000 n + 2469135802.5 = k 有正整数解。而这是不可能的，原因就是 9876543210 不能被 4 整除。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/08/22 10:04am 第 1 次编辑]

在上面这个问题中，要是把 4 改成一个素数，例如 7， 情况就不一样了，也就是：
对于正整数 7， 试找到一个正整数 k ,使得 7k 的最后 10 位是 9876543210。
这时，不定方程是：
10000000000 n + 9876543210 = 7k
也就是先要找到一个 n，使得
10000000000 n/7 + 9876543210/7 是整数。
由于 mod(9876543210, 7) = 2,
所以我们必须找到这样一个 n，使得 mod(10000000000 n, 7) = 5， 这样的 n 有无穷多，例如 n=10 就可以。于是我们求得一个 k = 109876543210/7 = 15696649030,
至此，您可别以为主帖中的那个 5696649030 前面漏掉了 1，其实它是另一个解，这是因为 mod(10000000000×3, 7) 也等于 5，故可算出：
（10000000000×3 + 9876543210）/7 = 5696649030。

moranhuishou

试证：
设
9876543210=r(mod p)
我们总可以找到一个整数t,使得
t*10^9=(p-r)(mod p)
即可有
[t*10^9+9876543210]=0(mod p)

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/08/22 10:49am 第 2 次编辑]

现在，我们把素数 7 改成任何一个素数 p， 情况如何呢？
对于任何素数 p， 试找到一个正整数 k ,使得 kp 的最后 10 位是 9876543210。
这时，不定方程是：
10000000000 n + 9876543210 = kp
也就是先要找到一个 n，使得
10000000000 n/p + 9876543210/p 是整数。
下面分两种情况讨论：
（一）9876543210 能够被 p 整除，也就是 p = 2, 3, 5, 17, 379721 时
此时要找到这样一个 n，使得 mod(10000000000 n, p) = 0，这样的 n 有无穷多个，例如 n = p 即是其中之一。
（二）9876543210 不能被 p 整除，也就是 p 不是 2, 3, 5, 17, 379721 中的任何一个
这时， mod(9876543210, p) 将是一个非零值 r，所以要找到这样一个 n，使得
mod(10000000000 n, p) = p-r， 这样的 n 有无穷多，为何？为何呢？急得俺直蹦！刚才接到一个电话，回北京的车票订上了，今天晚上就要坐车回北京了，俺要准备一下，就先放下这个题目吧，请网友们继续！！

w632158

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/08/22 06:34am 第 3 次编辑]

p = 2 或 5 时取 k = 9876543210 / p 即可。 以下假定 p 是其它素数。
任给正整数 a , 取 m 为 a 的位数， 因为 p 与 10^m 互素， 所以有整数 s, t 使得
s p + t 10^m = 1
如果 s > 0, 那么 as p = -at 10^m + a ,  k = as 使得 kp 的尾数为 a
如果 s < 0, 令 b = a-10^m , bs p = -bt 10^m + b = (-bt-1)10^m + a 的尾数是 a
取 a = 9876543210 就知道主贴结论对一切素数 p 成立。

moranhuishou

下面引用由moranhuishou在 2011/08/22 10:19am 发表的内容： 试证： 设 9876543210=r(mod p) 我们总可以找到一个整数t,使得 t*10^9=(p-r)(mod p) ...

补充—— 寻找t: 若1*10^9=a(mod p) 因p>5为素数，所以(a,p)=1 则2*10^9=2*a(mod p) ... p*10^9=p*a（mod p） 因为这是个a等差数列，且(a,p)=1 所以其中必有ca=(p-r)(mod p),c