求证：对于任何自然数 n≥2 ，必至少存在一个 m（m≥0），使得 n-m 和 n+m 同时为质数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

求证，对于不小于2的自然数n，必存在至少一个m值（m≧0）使得n-m和n+m同时为质数。

波斯猫猫

对于任何自然数 n≥2 ，必至少存在一个 m（m≥0），使得 n-m 和 n+m 同时为质数 .
即2n=p+q（p、q为素数）.当今天下谁能解决？

ccmmjj

波斯猫猫 发表于 2017-9-7 11:49
对于任何自然数 n≥2 ，必至少存在一个 m（m≥0），使得 n-m 和 n+m 同时为质数 .
即2n=p+q（p、q为素数） ...

原问题比哥猜还强，还说明了2m=p-q.

195912

luyuanhong先生：
       该问题应该在哥猜版块讨论。

任在深

195912 发表于 2017-9-8 09:14
luyuanhong先生：
       该问题应该在哥猜版块讨论。

不知陆教授何时对哥德巴赫猜想感上了兴趣？
原来是不愿意参与的。
看来数论的有关问题引起了他的关注！

luyuanhong

题  求证：对于任何自然数 n≥2 ，必至少存在一个 m（m≥0），使得 n-m 和 n+m 同时为质数。

证  下面证明，本题的结论与 Goldbach（哥德巴赫）猜想是等价的。

    设 Goldbach 猜想成立：任何大于等于 4 的偶数必能表示为两个质数之和。

    对于任何自然数 n≥2 ，2n 是一个大于等于 4 的偶数，由 Goldbach 猜想可知，必有质数

p,q（p≤q）使得 2n=p+q ，即必有 n-p=q-n 。

    设 n-p=q-n=m≥0 ，就有 n-m=n-(n-p)=p 和 n+m=n+(q-n)=q 同时为质数，本题结论成立。

    反过来，设本题结论成立：对任何自然数 n≥2 ，必存在 m≥0 ，使得 n-m 和 n+m 同时为质数。

    任何大于等于 4 的偶数，必能表示为 2n（n≥2）的形式。

    由本题结论可知，对于自然数 n≥2 ，至少存在一个 m≥0 ，使得 p=n-m 和 q=n+m 同时为质数。

    这时必有 2n=(n-m)+(n+m)=p+q ，偶数 2n 能表示为两个质数之和，Goldbach 猜想成立。

任在深

波斯猫猫 发表于 2017-9-7 19:49
对于任何自然数 n≥2 ，必至少存在一个 m（m≥0），使得 n-m 和 n+m 同时为质数 .
即2n=p+q（p、q为素数） ...

当今天下俺能解决！
小猫咪？如何！

任在深

ccmmjj 发表于 2017-9-7 21:47
原问题比哥猜还强，还说明了2m=p-q.

错！
     它只是哥猜的特例，孪生素数对猜想而已！

195912

luyuanhong先生：
         科普一下。
         设 D(N)表示方程
             N=p+q ,素数p,q≥3
的解数.偶数Goldbach猜想就是要证明:对于偶数 N≥6有
             D(N)>0 .
          显然对于任意偶数 N≥6 ,易证
              D(N)≥1 .
楼主的解答属于这一类,还有部分网友用其他方法也得到了这一结果.这不是Goldbach猜想的本意.目前最好的结果是
             D(N)<7.928C(N)N/(logN)^2 .
该解答己更新.