【趣题征解】设 x,y 是正整数，证明：若 10|x^2+xy+y^2 ，则 100|x^2+xy+y^2

luyuanhong

【趣题征解】设 x,y 是正整数，证明：若 10|x^2+xy+y^2 ，则 100|x^2+xy+y^2 。
  例如，当 x＝10 ，y＝20 时，10^2+10×20+20^2＝700 ，能被 10 和 100 整除。

王成5

w632158

不错，很简练，应该设x=10a+r,y=10b+t讨论r,t才完整一些。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/29 04:58pm 第 1 次编辑]

2 楼的思路是可以的。
但是，为什么“只有 x=10a,y=10b 才能满足 (x+y)^2≡xy(mod 10)”？
必须详细说出道理来才行。

w632158

w632158

luyuanhong

楼上说：“只有当 t=0 或 r=0 时，xy≡0(mod 10)”，这种说法不对。
例如，t=2 ，r=5 时，x≡2(mod 10) ，y≡5(mod 10) ，也会有 xy≡2×5≡10≡0(mod 10)。

w632158

当t=2.r=5时，原条件不能被10整除。在原条件成立的前提下，只能是x=10a,y=10b,这样的数。

王成5

[这个贴子最后由王成5在 2011/09/05 09:41pm 第 1 次编辑]

luyuanhong

楼上 王成5 的证明正确。
下面是另一种证明：

【趣题征解】设 x,y 是正整数，证明：若 10|x^2+xy+y^2 ，则 100|x^2+xy+y^2 。

【证】如果 x,y 都是奇数，或一奇一偶，则 x^2+xy+y^2 必定是奇数，不可能被 10 整除，
所以 x,y 必定都是偶数。
    下面用反证法证明 x,y 都是 5 的倍数。
    假设 x,y 都不是 5 的倍数，有 (x,5)＝1 ，(y,5)＝1 ，则由 Fermat 小定理可知，
必有 x^4≡1≡y^4(mod 5) 。
    同时，因为 10|x^2+xy+y^2 ，所以 5|x^2+xy+y^2 ，x^2+xy+y^2≡0(mod 5) ，所以
有 x^3-y^3≡(x-y)(x^2+xy+y^2)≡0(mod 5) ，即有 x^3≡y^3(mod 5) 。
    从 x^4≡y^4(mod 5) ，x^3≡y^3(mod 5) ，(x,5)＝1 可得 x≡y(mod 5) 。于是有
x^2+xy+y^2≡x^2+x^2+x^2≡3x^2(mod 5) ，因为 (x,5)＝1 ，所以 3x^2 不能被 5 整除，
也就是说，x^2+xy+y^2 不能被 5 整除，这就与 10|x^2+xy+y^2 发生矛盾，所以假设不成
立，x,y 都是 5 的倍数。
   因为 x,y 又都是偶数，所以 x,y 都是 10 的倍数，显然，这时 x^2+xy+y^2 必定是 100
的倍数，即有 100|x^2+xy+y^2 。